Tổng hợp kiến thức cơ bản về Nguyên hàm

Nguyên hàm: Hàm số \(\mathrm{F}(\mathrm{x})\) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) trên tập xác định \(\mathrm{D}\) nếu đạo hàm của \(\mathrm{F}(\mathrm{x})\) là \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\), tức là \(\mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}), \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D}\).

Nhận xét: Hiển nhiên nếu hàm \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) có một nguyên hàm thì nó sẽ có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kỳ của \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) chỉ sai khác nhau một hằng số.

Tích phân bất định: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) được gọi là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của nó và kí hiệu là \(\int f(x) d x\).

Như vậy, nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) có một nguyên hàm là \(\mathrm{F}(\mathrm{x})\) thì tích phân bất định của nó là

- Ký hiệu nguyên hàm: \(\int f(x) d x\), biểu thị một nguyên hàm của hàm \(f(x)\).

- Hằng số tích phân: \(C\), được thêm vào để biểu diễn tất cả các nguyên hàm có thể có của \(f(x)\).

- Tính tuyến tính của nguyên hàm:

với \(a\) và \(b\) là các hăng số.

- Phép đổi biến số:

Nếu \(u=g(x)\) là một hàm số khả vi, thì:

- Tích phân từng phân:

Nếu \(u\) và \(v\) là các hàm số khả vi của \(x\), thì:

\(\begin{array}{ll}\int x^{\alpha} d x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C, \quad \alpha \neq-1 ; & \int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C \\ \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(0\lt a \neq 1) ; & \int e^{x} d x=e^{x}+C \\ \int \sin x d x=-\cos x+C ; & \int \cos x d x=\sin x+C \\ \int \frac{d x}{\cos ^{2} x}=\tan x+C & \int \frac{d x}{\sin ^{2} x}=-\cot x+C \\ \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C ; & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x+C \\ \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C, a\gt 0 ; & \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C, a>0 \\ \int \frac{u^{\prime}}{u} d x=\ln |u|+C & \int e^{a x} d x=\frac{1}{a} e^{a x}+c, a \neq 0 \\ \int \sin a x d x=-\frac{1}{a} \cos a x+c, a \neq 0 & \int \cos a x d x=\frac{1}{a} \sin a x+c, a \neq 0\end{array}\)

- Tính diện tich dưới đường cong: Sử dụng nguyên hàm để tính diện tích.

- Giải phương trình vi phân: Nguyên hàm được sử dụng để giải phương trình vi phân cơ bản.

- Ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật: Tính công, tính thể tích, và các bài toán liên quan đến chuyển động.

Những khái niệm và định nghĩa cơ bản này sẽ giúp bạn có một cái nhìn tổng quan và vững chắc vế nguyên hàm, từ đó có thể áp dụng vào hầu hết các bài toán và ứng dụng trong nhiêu lĩnh vực khác nhau. 

Để hỗ trợ quá trình học tập được cải thiện hơn, Examon gửi đến các bạn học sinh phương pháp học tập hiệu quả. Tham khảo ngay nhé!

Đôi khi chúng ta sẽ thắc mắc tại sao mình luôn cố gắng nhưng điểm vẫn cứ ở mức khá mà không thể tiến cao hơn

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn có thể lưu ý các điều sau:

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1:  Cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2:  Nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện 

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

Bước 3:  Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán 

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi. 

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế dựa trên phương pháp học tối ưu, biến mỗi buởi ôn luyện của bạn thành một hành trình hiệu quả gấp \(300 \%\). Giống như một cuốn sổ tay thông minh, Examon giúp bạn lưu trữ và nắm bắt kiến thức một cách hệ thống và dễ dàng. 

Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao

Từ đó Examon sẽ đề xuất những câu hỏi tương tự với những lỗi bạn đã mắc phải, tạo ra một vòng lặp luyện tập liên tục giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Qua quá trình này, bạn sẽ dần dần khắc phục được những điểm yếu của mình, đồng thời nắm vững mọi dạng toán thường gặp. 

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Đây là một yếu tố quan trọng và luôn được ưu tiên hàng đầu

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Học hỏi từ lỗi sai của mình và người khác, chúng ta có thể rút ra bài học và kinh nghiệm. Đây là 1 kỹ năng cần thiết cho mọi sự phát triển