Một số mẹo khi làm bài lượng giác

1. Các bước giải một phương trình lượng giác.

- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa (nếu có). Các phương trình có chứa căn, có mẫu số, có tan hoặc cot thì cần có điều kiện.

- Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi để đưa phương trình về 1 trong 5 dạng cơ bản.

- Bước 3: Giải và đối chiếu chọn nghiệm phù hợp.

- Bước 4: Kết luận nghiệm.

2. Các phương pháp giải phương trình lượng giác.

- Phương pháp 1. Biến đổi đưa về dạng cơ bản.

- Phương pháp 2. Biến đổi phương trình về dạng tích : \(A \cdot B=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}A=0 \\ B=0\end{array}\right.\).

- Phương pháp 3. Biến đổi phương trình về dạng tồng bình phương : \(A^{2}+B^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}A=0 \\ B=0\end{array}\right.\).

- Phương pháp 4. Đánh giá hai vế :

\[A=B \text { mà }\left\{\begin{array}{l}A \leq m \\B \geq m\end{array} \text {. Do đó } A=B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A=m \\B=m\end{array}\right. \text {. }\right.\]

3. Các ví dụ minh họa.

Dưới đây là một số ví dụ minh họa giải các bài tập lượng giác.

Ví dụ 1:

Ví dụ 1. (Biến đồi về dạng co bản) Giải phương trình sau:

\[\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}+\sqrt{3} \cos x=2 \text {. }\]

Lời giải:

Lời giải.

Phương trình đã cho

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \quad 1+\sin x+\sqrt{3} \cos x=2 \quad \Leftrightarrow \quad \sin x+\sqrt{3} \cos x=1 \\ \Leftrightarrow \quad \frac{1}{2} \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x=\frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{6} \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x+\frac{\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi\end{array} \quad \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}, \quad k \in \mathbb{Z} .\right.\right. \\\end{array}\)

Ví dụ 2:

Ví dụ 2. (Biến đổi về dạng tích) Giải phương trình sau:

\[\cos ^{3} x+\sin ^{3} x+2 \sin ^{2} x=1 .\]

Lời giải

Phương trình đã cho

\[\begin{array}{ll}\Leftrightarrow & \cos ^{3} x+\sin ^{3} x=1-2 \sin ^{2} x \\\Leftrightarrow & \cos ^{3} x+\sin ^{3} x=\cos 2 x \\\Leftrightarrow & \cos ^{3} x+\sin ^{3} x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x \\\Leftrightarrow & (\cos x+\sin x)(1-\sin x \cos x)=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x) \\\Leftrightarrow & \underbrace{(\cos x+\sin x)}_{\text {dang } 2} \underbrace{[1-\sin x \cos x-\cos x+\sin x]}_{\text {dang } 5}=0 .\end{array}\]

Ví dụ 3:

Ví dụ 3. (Biến đổi về dạng tổng hai bình phuơng) Giải phương trình sau:

\[3 \tan ^{2} x+4 \sin ^{2} x-2 \sqrt{3} \tan x-4 \sin x+2=0 .\]

Lời giải

Điều kiện : \(\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}\).

Phương trình đã cho

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow \quad 3 \tan ^{2} x-2 \sqrt{3} \tan x+1+4 \sin ^{2} x-4 \sin x+1=0 \\\Leftrightarrow \quad(\sqrt{3} \tan x-1)^{2}+(2 \sin x-1)^{2}=0 . \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3} \tan x-1=0 \\2 \sin x-1=0\end{array}\right.\end{array}\]

Ví dụ 4:

Ví dụ 4. (Dánh giá hai vế ) Giải phương trình sau:

\[\sin ^{2010} x+\cos ^{2010} x=1 .\]

Lời giải

Phương trình đã cho

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow \quad \sin ^{2010} x+\cos ^{2010} x=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x \\\Leftrightarrow \quad \sin ^{2} x\left(\sin ^{2008} x-1\right)=\cos ^{2} x\left(1-\cos ^{2008} x\right) .\end{array}\]

Ta có

\[\left\{\begin{array}{l}\sin ^{2} x \geq 0 \\\sin ^{2008} x \leq 1\end{array} \quad \Rightarrow \sin ^{2} x\left(\sin ^{2008} x-1\right) \leq 0, \quad \forall x\right.\]

và

\[\left\{\begin{array}{l}\cos ^{2} x \geq 0 \\\cos ^{2008} x \leq 1\end{array} \quad \Rightarrow \cos ^{2} x\left(1-\cos ^{2008} x\right) \geq 0, \quad \forall x .\right.\]

Do đó phương trình \(\left(^{*}\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sin ^{2} x\left(\sin ^{2008} x-1\right)=0 \\ \cos ^{2} x\left(1-\cos ^{2008} x\right)=0\end{array} \quad \Leftrightarrow x=\frac{k \pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\right.\).

4. Các nguyên tắc chung để giải phương trình.

Dưới đây là một số nguyên tắc chung để giải phương trình.

1. Biến đổi

Biến đổi

Phân tích thành phương trình tích theo nguyên tắc

Lūy thừa \(\longrightarrow\) Hạ bậc
- Tích \(\longrightarrow\) Tổng
Tồng \(\longrightarrow\) Tích

2. Biến đổi không được thì đổi biến.

- Đặt \(: t=\sin x, \quad t \in[-1 ; 1]\).

Khi đó

\[\begin{array}{l}\cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x=1-t^{2} \\\cos 2 x=1-2 \sin ^{2} x=1-2 t^{2} \\\tan ^{2} x=\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}=\frac{t^{2}}{1-t^{2}} \\\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x=3 t-4 t^{3}\end{array}\]

- Đặt: \(t=\cos x, \quad t \in[-1 ; 1]\).

Khi đó

\[\begin{array}{l}\sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x=1-t^{2} \\\cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1=2 t^{2}-1 \\\tan ^{2} x=\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}=\frac{1-t^{2}}{t^{2}} \\\cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x=4 t^{3}-3 t\end{array}\]

5. Lời kết

Nắm được các bước và các mẹo dưới đây thì các bạn học sinh có thể tự tin nắm chắc được trọn số điểm lượng giác trong tay rồi. Bên cạnh học lý thuyết và bài tập thì các mẹo làm bài cũng rất cần thiết đấy nhé.

6. Học mẹo cùng Examon

Ở trên lớp không đủ thời gian cho thầy cô truyền đạt hết kiến thức nên việc có thời gian cho thầy cô truyền đạt các mẹo làm bài. Nếu đã không học được trên lớp thì để Examon chỉ cho bạn. Tìm hiểu thêm các mẹo học và làm bài khác ở Examon nhé.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!