Một số dạng tích phân vận dụng cao

Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:

(1) \(u(x) \cdot f^{\prime}(x)+u^{\prime}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{h}(\mathrm{x})\)

(2) \(\frac{u^{\prime}(x) \cdot f(x)-u(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{x})}{f^{2}(x)}=\mathrm{h}(\mathrm{x})\)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức: \((u v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\) và \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}\)

(1). Biến đổi: 

\(u(x) \cdot f^{\prime}(x)+u^{\prime}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{h}(\mathrm{x}) \Leftrightarrow[u(x) \cdot f(x)]^{\prime}=h(x) \Rightarrow u(x) \cdot f(x)=\int h(x) d x\)

(2). Biến đổi: 

 \(\frac{u^{\prime}(x) \cdot f(x)-u(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{x})}{f^{2}(x)}=\mathrm{h}(\mathrm{x}) \Leftrightarrow\left[\frac{u(x)}{f(x)}\right]=h(x) \Rightarrow \frac{u(x)}{f(x)}=\int h(x) d x\)

Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:

(1) \(f^{\prime}(x)+f(x)=h(x)\)

(2) \(f^{\prime}(x)-\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{h}(\mathrm{x})\)

Phương pháp giải:

(1). Biến đổi: 

\(f^{\prime}(x)+f(x)=h(x) \Rightarrow \mathrm{e}^{x} \cdot f^{\prime}(x)+e^{x} \cdot f(x)=e^{x} \cdot h(x)\)

(2). Biến đổi: 

\(f^{\prime}(x)-f(x)=h(x) \Rightarrow \mathrm{e}^{-x} \cdot f^{\prime}(x)-e^{-x} \cdot f(x)=e^{-x} \cdot h(x)\)

Bài toán tổng quát: \(f^{\prime}(x)+p(x) \cdot f(x)=h(x)\)

Phương pháp giải:

Nhân 2 vế với \(e^{\int p(x) d x}\) ta được \(e^{\int p(x) d x} \cdot f^{\prime}(x)+e^{\int p(x) d x} \cdot p(x) \cdot f(x)=e^{\int p(x) d x} \cdot h(x)\)

Tổng quát: \(e^{\int p(x) d x} \cdot f(x)=\int h(x) e^{\int p(x) d x} d x\)

Bài 1 : Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([0 ; 2]\) thỏa mãn \(f(0)=3\) và \((2 x+3) f^{\prime}(x)+2 f(x)=4 x-3 x^{2}\). Tính \(f(2)\) .

Lời giải

Ta có: \((2 x+3) f^{\prime}(x)+2 f(x)=4 x-3 x^{2} \Leftrightarrow[(2 x+3) f(x)]^{\prime}=4 x-3 x^{2}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: \((2 \mathrm{x}+3) \mathrm{f}(\mathrm{x})=\int\left(4 \mathrm{x}-3 \mathrm{x}^{2}\right) \mathrm{dx}=2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}^{3}+\mathrm{C}\)

Do \(f(0)=3 \Rightarrow 3 f(0)=C \Rightarrow C=9\)

Thay \(x=2 \Rightarrow 7 f(2)=8-8+9 \Rightarrow f(2)=\frac{9}{7}\).

Bài 2 : Cho hàm số \(\mathrm{y}=f(x)\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \([2 ; 4]\), biết rằng \(\mathrm{f}(2)=6\) và \(\left(\mathrm{x}^{2}-1\right) \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}\). Tính \(f(4)\)

Lời giải

Ta có: \(\left(\mathrm{x}^{2}-1\right) \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x} \Leftrightarrow \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})+\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{x}^{2}-1}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}\) với \(x \in[2 ; 4]\) 

Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có \(f(x) e^{\int \frac{d x}{x^{2}-1}}=\int \frac{x}{x-1} e^{\int \frac{d x}{x^{2}-1}} d x\left({ }^{*}\right)\)

Lại có \(e^{\int \frac{d x}{x^{2}-1}}=e^{\frac{1}{\ln } \frac{x-1}{x+1}}=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\)

Do đó \(\left({ }^{*}\right) \Leftrightarrow f(x) \cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\int \frac{x}{x-1} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} d x=\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{1}{2} \int \frac{d\left(x^{2}-1\right)}{\sqrt{x^{2}-1}}=\sqrt{x^{2}-1}+C\)

Suy ra \(f(x)=C \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+x+1 \Rightarrow f(2)=C \sqrt{3}+3=6 \Rightarrow f(x)=\sqrt{\frac{3 x+3}{x-1}}+x+1\)

Vậy \(f(4)=5+\sqrt{5}\)

Bài 3 : Cho hàm số \(\mathrm{y}=f(x)\) có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{4}\right)=0\) và \(\sin x . f(x)+\cos x . f(x)=\sin x+\cos x\). Tính giá trị của \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\)

Lời giải

Ta có: \([\sin x . f(x)]^{\prime}=\sin x . f^{\prime}(x)+\cos x . f(x)\)

Từ giả thiết lấy nguyên hàm 2 vế ta được: \(\sin x . f(x)=-\cos x+\sin x+C\)

Do \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0 \Rightarrow-\cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{4}+C=0 \Leftrightarrow C=0\)

Suy ra \(\sin x \cdot f(x)=\sin x-\cos x \Rightarrow \sin \frac{\pi}{2} \cdot f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\).