Một số dạng tích phân hàm ẩn

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\)

• Giả sử \(\mathrm{F}(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\). 

• Hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a ; b]\) ) của hàm số \(f(x)\), ki hiệu là \(\int_{a}^{b} f(x) d x\).

• Ta còn dùng ki hiệu \(\left.F(x)\right|_{a} ^{b}\) để chỉ hiệu số \(F(b)-F(a)\)

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

\(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\)

Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

\(\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x\)

\(=-\int_{b}^{a} f(x) d x\)

• Tích phân của hàm số \(f\) từ \(a\) đến \(b\) có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hay \(\int_{a}^{b} f(t) d t\). 

• Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

• Tức là: 

\(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(t) d t=\int_{a}^{b} f(u) d u\)

• Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

• Chú ý:

Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\)ta quy ước:

\(\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x\)

\(=-\int_{b}^{a} f(x) d x\)

• Điều kiện hàm ẩn có dạng:\(f^{'}{\left( x \right )} = g{\left( x \right )} \cdot h \left( f{\left( x \right )} \right )\)

\(\frac{f^{'}{\left( x \right )}}{h \left( f{\left( x \right )} \right )} = g{\left( x \right )}\)

\(\Leftrightarrow \int \frac{f^{'}{\left( x \right )}}{h \left( f{\left( x \right )} \right )} dx = \int g{\left( x \right )} dx\)

\(\Leftrightarrow \int \frac{d f{\left( x \right )}}{h \left( f{\left( x \right )} \right )} = \int g{\left( x \right )} dx .\)

• Phương pháp giải:

\(f^{'}{\left( x \right )} \cdot h \left( f{\left( x \right )} \right ) = g{\left( x \right )}\)

\(\int f^{'}{\left( x \right )} \cdot h \left( f{\left( x \right )} \right ) dx = \int g{\left( x \right )} dx \Leftrightarrow \int h \left( f{\left( x \right )} \right ) d f{\left( x \right )} = \int g{\left( x \right )} dx \dot{s}\)

• Chú ý:

- 1 và 2 bản chất là một ( cô lập các cụm \(f(x), f^{\prime}(x)\) sang một vế).

- Ngoài việc nguyên hàm cả hai vế, ta có thế tích phân hai về (tùy cách hỏi)

- \(f^{\prime}(x)\) phải để trên tử

• Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn : 

\(A. f(x)+B \cdot u^{\prime} . f(u)\)

\(+C . f(a+b-x)=g(x)\)

+) Với \(\left\{\begin{array}{l}u(a)=a \\ u(b)=b\end{array}\right.\) 

thì \(\int_{0}^{b} f(x) d x=\frac{1}{A+B+C} \int_{a}^{b} g(x) d x\)

+) Với \(\left\{\begin{array}{l}u(a)=b \\ u(b)=a\end{array}\right.\)  

thì \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{1}{A-B+C} \int^{b} g(x) d x\)

Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số \(A, B, C\).

Nếu \(f(x)\) liên tục trên \([a ; b]\) thì:

\(A.f(x)+B \cdot u^{\prime} . f(u)\)

\(\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x\).

• Điều kiện hàm ấn \(A \cdot f(u(x))+B \cdot f(v(x))=g(x)\)

• Phương pháp giải: Lần lượt đặt \(t=u(x)\) và \(t=v(x)\) để giải hệ phương trình hai ấn (trong đó có ấn \(f(x)\) ) đế suy ra hàm số \(f(x)\) (nếu \(u(x)=x\) thì chỉ căn đặt một lằn \(t=v(x)\) ).

• Các kết quả đặc biệt:

Cho

\(A.f (a x+b)+B . f(-a x+c)=g(x)\)

với \(\left.A^{2} \neq B^{2}\right)\) 

khi đó \(f(x)=\frac{A . g\left(\frac{x-b}{a}\right)-B . g\left(\frac{x-c}{-a}\right)}{A^{2}-B^{2}}(*)\)

+)Hệ quả 1 của (*): 

\(A . f(x)+B \cdot f(-x)=g(x) \)

\(\Rightarrow f(x)=\frac{A . g(x)-B \cdot g(-x)}{A^{2}-B^{2}}\)

+)Hệ quả 2 của (*): 

\(A . f(x)+B . f(-x)=g(x) \)

\(\Rightarrow f(x)=\frac{g(x)}{A+B}\)

với \(g(x)\) là hàm só chẵn.

• Hàm ẩn xác định bởi ẩn dưới cận tích phân.

• Phương pháp giải: Sử dụng công thức:

\(\left(\int_{u(x)}^{u(x)} f(t) d t\right)^{\prime}\)

\(=u^{\prime} \cdot f(u)-v^{\prime} \cdot f(v)\)

Kết quả đặc biệt: 

\(\left(\int_{\alpha}^{\alpha(x)} f(t) d t\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot f(u)\) với \(a\) là hằng số.

Chứng minh: 

Giả sử:

\(\int_{(x)}^{u(x)} f(t) d t=F(t) C_{u(x)}^{(x)}\)

\(=F(u(x))-F(v(x))\)

\(\Rightarrow\left(\int_{u(x)}^{\nu(x)} f(t) d t\right)^{\prime}\)

\(=(F(u(x))-F(v(x)))^{\prime}=u^{\prime} \cdot F^{\prime}(u)-v^{\prime} \cdot F^{\prime}(v)\)

\(=u^{\prime} \cdot f^{\prime}(u)-v^{\prime} \cdot f^{\prime}(v)\)