Một số bài toán thực tế về cấp số nhân
Cùng Examon giải mã thế giới thực với muôn vàn bài toán thực tế cấp số nhân - hơn cả kiến thức, là công cụ đắc lực cho cuộc sống thành công!
Mục lục bài viết
Toán học - Vượt xa trang sách, len lỏi vào đời sống thực:
Toán học không chỉ gói gọn trong những trang sách giáo khoa mà còn hiện diện một cách tinh tế trong muôn vàn khía cạnh của đời sống thực tế. Cấp số nhân, một chủ đề tưởng chừng khô khan và trừu tượng, lại ẩn chứa sức mạnh phi thường trong việc giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ dẫn dắt bạn khám phá những ứng dụng sinh động của cấp số nhân, mở ra góc nhìn mới mẻ và đầy tiềm năng để chinh phục những thách thức trong cuộc sống
Từ hiện tượng đơn giản đến vấn đề phức tạp - Cấp số nhân đồng hành cùng mọi lĩnh vực:
Từ những quy luật đơn giản như sự suy giảm theo thời gian của lượng chất phóng xạ (Vật lý học) đến những vấn đề phức tạp hơn như tính toán lãi suất kép trong ngân hàng hay thiết kế kiến trúc tối ưu, cấp số nhân hiện diện như một công cụ đắc lực, mang đến giải pháp hiệu quả cho muôn vàn bài toán thực tế.
Cùng Examon bước vào hành trình khám phá thế giới thực tiễn của cấp số nhân:
Nơi đây những con số khô khan được thổi hồn bởi sức sống mãnh liệt của đời sống thực. Bạn sẽ nhận thức được rằng toán học không chỉ là những công thức hay định lý trừu tượng mà còn là công cụ hữu ích giúp bạn chinh phục mọi thử thách, gặt hái thành công trong mọi lĩnh vực.
Cấp số nhân không chỉ là một chủ đề toán học đơn thuần mà còn là một triết lý, một cách tư duy giúp bạn nhìn nhận thế giới một cách đa chiều và hiệu quả hơn. Hãy mở rộng cánh cửa tâm hồn, đón nhận những kiến thức mới mẻ về cấp số nhân để khám phá tiềm năng vô hạn của bản thân và chinh phục những đỉnh cao mới trong cuộc sống.
1. Công thức cần nhớ
- Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\), ta có công thức truy hồi:
\(u_{n+1}=u_{n} q\) với \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
- Nếu cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_{n}\) được xác định bởi công thức
\(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với \(n \geq 2 \text {. }\)
- Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\(u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1}\) với \(k \geq 2 \text {. }\)
- Cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(q \neq 1\). Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\).
Khi đó \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\).
Chú ý: Nếu \(q=1\) thì cấp số nhân là \(u_{1}, u_{1}, u_{1}, \ldots, u_{1}, \ldots\) khi đó \(S_{n}=n u_{1}\).
2. Bài toán thực tế
2.1. Vật lý học
Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày. Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày.
Lời giải
Kí hiệu \(u_{n}\) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau \(\mathrm{n}\) chu kì án rã.
Ta có 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã.
Theo đề bài ra, ta cần tính \(u_{53}\).
Từ giả thiết suy ra dãy \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu là \(u_{1}=\frac{20}{2}=10\) và công bội \(\mathrm{q}=0,5\).
Do đó \(u_{53}=10 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{52} \approx 2,22 \cdot 10^{-15}\).
2.2. Xác suất thống kê
Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10 . Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?
Lời giải
Số tiền du khác đặt trong mỗi lần là một cấp số nhân có \(u_{1}=20000\) và công bội \(q=2\).
Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:
\[S_{9}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{9}=\frac{u_{1}\left(1-p^{9}\right)}{1-p}=10220000\]Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là \(u_{10}=u_{1} \cdot p^{9}=10240000\)
Ta có \(u_{10}-S_{9}=20000\gt 0\) nên du khách thắng 20000.
2.3. Lãi suất
Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7000000đ một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương \(7 \%\). Hằng tháng người đó tiết kiệm \(20 \%\) lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất \(0,3 \% /\) tháng theo hình thức lãi kép. Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.
a) Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được là bao nhiêu?
b) Hỏi sau 60 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được là bao nhiĉu?
Lời giải
a) Đặt \(a=7.000 .000, m=20 \%, n=0,3 \%, t=7 \%\).
Hết tháng thứ nhất, người đó có tồng số tiền tiết kiệm là \(T_{1}=a m(1+n)^{1}\).
Hết tháng thứ hai, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
\[T_{2}=\left(T_{1}+a m\right)(1+n)=a m(1+n)^{2}+a m(1+n)^{1} .\]Hết tháng thứ 36 , người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
\[T_{36}=a m(1+n)^{36}+a m(1+n)^{35}+\ldots+a m(1+n)=a m \cdot(1+n) \frac{(1+n)^{36}-1}{n}\]Thay số ta được \(T_{36} \approx 53297648,73\).
b) Hết tháng thứ 37 , người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
\[T_{37}=\left[T_{36}+a(1+t) m\right](1+n)=T_{36} \cdot(1+n)^{1}+a(1+t) m \cdot(1+n)\]Hết tháng thứ 38 , người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
\[T_{38}=\left[T_{37}+a(1+t) m\right](1+n)=T_{36} \cdot(1+n)^{2}+a(1+t) m\left[(1+n)^{2}+(1+n)\right]\]Hết tháng thứ 60 , người đó có tổng số tiền tiết kiệm là
\[\begin{aligned}T_{60} & =T_{36}(1+n)^{24}+a(1+t) m\left[(1+n)^{24}+(1+n)^{23}+\ldots+(1+n)\right] \\& =T_{36}(1+n)^{24}+a(1+t) m \cdot(1+n) \frac{(1+n)^{24}-1}{n} .\end{aligned}\]Thay số và tính ta được tổng số tiền tiết kiệm sau 60 tháng của người đó là:
\[T_{60} \approx 94602156,59 \text {. }\]3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
