Một số bài tập so sánh ĐẠO HÀM và NGUYÊN HÀM

1. Mối quan hệ giữa Đạo hàm và Nguyên hàm

Đạo hàm: Là quá trình tìm tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm.

Nguyên hàm: Là quá trình tìm hàm số gốc từ hàm số đã cho (quá trình ngược lại của việc tìm đạo hàm).

2. Ký hiệu, biểu diễn

Đạo hàm: \(f^{\prime}(x), \frac{d f}{d x}, \frac{d}{d x} f(x)\).

Nguyên hàm: \(\int f(x) d x, F(x)+C\).

3. Ví dụ cụ thể

3.1. Ví dụ về Đạo hàm

1. Hàm số đa thức:

- Hàm số: \(f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x\)

- Đạo hàm: \(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x+2\)

- Giải thích: Đạo hàm \(f^{\prime}(x)\) cho biết tốc độ thay đổi của hàm số \(f(x)\) tại một điểm \(x\).

2. Hàm số mũ:

- Hàm số: \(g(x)=e^{x}\)

- Đạo hàm: \(g^{\prime}(x)=e^{x}\)

- Giải thích: Đạo hàm của \(e^{x}\) là chính nó biểu diên tốc độ thay đổi của hàm số mũ này.

3. Hàm lượng giác:

- Hàm số: \(h(x)=\sin (x)\)

- Đạo hàm: \(h^{\prime}(x)=\cos (x)\)

- Giải thích: Đạo hàm của \(\sin (x)\) là \(\cos (x)\), cho biết tớc độ thay đổi của hàm \(\sin (x)\) tại mối điểm \(x\).

3.2. Ví dụ về Nguyên hàm

1. Hàm số đa thức:

- Hàm sỡ: \(f(x)=3 x^{2}-6 x+2\)

- Nguyên hàm: \(F(x)=\int\left(3 x^{2}-6 x+2\right) d x=x^{3}-3 x^{2}+2 x+C\)

- Giải thích: Nguyên hàm \(F(x)\) là hàm số mà đạo hàm của nó băng hàm số đã cho \(f(x)\).

2. Hàm số mũ:

- Hàm số: \(g(x)=e^{x}\)

- Nguyên hàm: \(G(x)=\int e^{x} d x=e^{x}+C\)

- Giải thích: Nguyên hàm của \(e^{x}\) là chính nó cộng với một hăng số tích phân \(C\).

3. Hàm lượng giác:

- Hàm số: \(h(x)=\cos (x)\)

- Nguyên hàm: \(H(x)=\int \cos (x) d x=\sin (x)+C\)

- Giải thích: Nguyên hàm của \(\cos (x)\) là \(\sin (x)\) cộng với hăng số tích phân \(C\).

3.3. So sánh trên cùng một hàm số

- Hàm số ban đầu: \(f(x)=3 x^{2}-6 x+2\)1.

Đạo hàm:

- Tìm đạo hàm của \(F(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x+C\)

- \(F^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x+2\)

- Kê quả: \(f(x)\)

Nguyên hàm:

- Tìm nguyên hàm của \(f(x)=3 x^{2}-6 x+2\)

- \(\int\left(3 x^{2}-6 x+2\right) d x=x^{3}-3 x^{2}+2 x+C\)

- Kêt quả: \(F(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x+C\)

4. Làm thế nào để cải thiện điểm số trong quá trình học

Qua các ví dụ minh họa trên, Examon mong bạn đọc có thể nắm chắc hai dạng toán Đạo hàm và Nguyên hàm, từ đó tránh nhầm lẫn trong quá trình giải toán dẫn đến việc mất điểm đáng tiếc.

Qua đây, Examon gửi đến bạn đọc phương học tập hiệu quả, giúp cải thiện điểm số một cách đáng kể. Cùng tham khảo nha.

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK	Tiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP	7
Bài 1. Mệnh đề toán học	3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp	3
Bài tập cuối chương I	1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN	6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3
Bài tập cuối chương II	1

Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%

Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học là việc luôn được khuyến khích từ trước đến nay. Người có khả năng tự học chính là người có khả năng thành công cao nhất.

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Sẽ không có sự phát triển vượt bậc nào nếu bạn không mắc lỗi và học từ chính những lỗi sai đó. Đây là một kỹ năng thật sự rất quan trọng trong quá trình học tập của bạn

Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.