Lý thuyết và bài tập hàm số lượng giác
Bài viết dưới đây Examon đã tổng hợp đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về phần hàm số lượng giác. Các bạn có thể tham khảo.
Mục lục bài viết
Hàm số lượng giác trong chương trình toán lớp 11 không phải là một kiến thức quá khó tuy nhiên cũng không quá dễ. Để làm được các bài tập hàm số lượng giác thì bạn cần nắm chắc lý thuyết và các dạng bài tập. Do đó, Examon đã tổng hợp đầy đủ ở bài viết này mong rằng bài viết sẽ giúp các bạn tổng hợp, cũng như ghi nhớ dễ hơn.
1. Định nghĩa hàm số lượng giác
Ta có định nghĩa sau về các hàm số lượng giác.
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực \(x\) với sộ thực \(\sin x\) được gọi là hàm số sin, kí hiệu là \(y=\sin x\).Tập xác định của hàm số sin là \(\mathbb{R}\).
- Quy tắc đặt tương ứng mối số thực \(x\) với số thực \(\cos x\) được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là \(y=\cos x\).Tập xác định của hàm số côsin là \(\mathbb{R}\).
- Hàm số cho bằng công thức \(y=\frac{\sin x}{\cos x}\) được gọi là hàm số tang, kí hiệu là \(y=\tan x\). Tập xác định của hàm số tang là \(\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{\pi}{2}+k \pi \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).
- Hàm số cho bằng công thức \(y=\frac{\cos x}{\sin x}\) được gọi là hàm số côtang, ki hiệu là \(y=\cot x\). Tập xác định của hàm số côtang là \(\mathbb{R} \backslash\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
2. Tính chất của hàm số lượng giác
2.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định là \(D\).
- Hàm số \(f(x)\) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \(-x \in D\) và \(f(-x)=f(x)\).Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.
- Hàm số \(f(x)\) được gọi là hàm số lé nếu \(\forall x \in D\) thì \(-x \in D\) và \(f(-x)=-f(x)\). Đồ thị của một hàm số lé nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
2.1 Hàm số tuần hoàn
Hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số \(T \neq 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có:
i) \(x+T \in D\) và \(x-T \in D\);
ii) \(f(x+T)=f(x)\).Số \(T\) dương nhỏ nhất thoà mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. \(\quad\).
3. Các hàm số lượng giác
3.1 Hàm số sinx
Hàm số \(y=\sin x\) : \(\quad\)
- Có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và tập giá trị là \([-1 ; 1]\);
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \(2 \pi\);
- Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi ; \frac{\pi}{2}+k 2 \pi\right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(\frac{\pi}{2}+k 2 \pi ; \frac{3 \pi}{2}+k 2 \pi\right), k \in \mathbb{Z}\)
- Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ và gọi là một dường hình sin.
3.2 Hàm số cosx
Hàm số \(y=\cos x\) :
- Có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và tập giá trị là \([-1 ; 1]\);
- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì \(2 \pi\);
- Đồng biến trên mỗi khoảng \((-\pi+k 2 \pi ; k 2 \pi)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \((k 2 \pi ; \pi+k 2 \pi), k \in \mathbb{Z}\)
- Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
3.3 Hàm số tanx
Hàm số \(y=\tan x\) :
- Có tập xác định là \(\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{\pi}{2}+k \pi \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\) và tập giá trị là \(\mathbb{R}\);
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \(\pi\);
- Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi ; \frac{\pi}{2}+k \pi\right), k \in \mathbb{Z}\);
- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
3.4 Hàm số cotx
Hàm số \(y=\cot x\) :
- Có tập xác định là \(\mathbb{R} \backslash\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\) và tập giá trị là \(\mathbb{R}\);
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \(\pi\);
- Nghịch biến trên mỗi khoảng \((k \pi ; \pi+k \pi), k \in \mathbb{Z}\);- Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ.
4. Bài tập cơ bản
4.1 Tìm tập xác định của hàm số
- Phương pháp:
Ta có tập xác định của hàm số \(y=f(x)\) là tập các giá trị của \(x\) sao cho biểu thức \(f(x)\) có nghĩa.
Lưu ý: Nếu P(x) là một đa thức thì:
\(\frac{1}{P(x)}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow P(x) \neq 0\)
\(\sqrt{P(x)}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow P(x) \geq 0\)
\(\frac{1}{\sqrt{P(x)}}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow P(x)\gt 0\)
- Bài tập
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+3 x-4}\) b) \(y=\frac{x+1}{(x+1)\left(x^{2}+3 x-4\right)}\)
Giải
a) ĐKXĐ: \( x^{2}+3 x-4 \neq 0\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x \neq 1 \\ x \neq-4\end{array}\right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là \(D=R \backslash\{1 ;-4\}\).
b) ĐKXĐ:
\[(x+1) \cdot\left(x^{2}+3 x-4\right) \neq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { x + 1 \neq 0 } \\{ x ^ { 2 } + 3 x - 4 \neq 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \neq-1 \\x \neq 1 \\x \neq-4\end{array}\right.\right.\]Suy ra tập xác định của hàm số là \(\mathrm{D}=\mathrm{R} \backslash\{-4 ;-1 ; 1\}\).
4.2 Tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác
- Phương pháp
Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số, khi đó
* Nếu \(D\) là tập đối xứng (tức \(\forall x \in D \Rightarrow-x \in D\) ), thì ta thực hiện tiếp bước 2.
* Nếu \(D\) không phải tập đối xứng(tức là \(\exists x \in D\) mà \(-x \notin D\) ) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lè.
Bước 2: Xác định \(f(-x)\) :
* Nếu \(f(-x)=f(x), \forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
* Nếu \(f(-x)=-f(x), \forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
* Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
- Bài tập
Xét tính chã̃n, lẻ của các hàm số sau:
a) \(y=\cos x+\cos 2 x\)
b) \(y=\tan x+\cot x\)
a) Ta có tập xác định của hàm số là \(D=R\).
\(\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x\).
Vậy hàm số đã cho là hàm không chẵn, không lẻ.
b) Ta có tập xác định của hàm số là \(D=R \backslash\{k \pi / 100, k \in Z\}\).\(\sin (-2 x)+\cot (-100 x)=-\sin 2 x-\cot (100 x)\).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
4.3 Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
- Phương pháp
Định nghĩa: Hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập \(D\) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số \(T \neq 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x \pm T \in D\) và \(f(x+T)=f(x)\).Nếu có số \(T\) duơng nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T\)
.\({ }^{*} \mathrm{y}=\sin (a x+b)\) có chu kỳ \(T_{0}=\frac{2 \pi}{|a|}\)
* \(\mathrm{y}=\cos (a x+b)\) có chu kỳ \(T_{0}=\frac{2 \pi}{|a|}\)
\({ }^{*} \mathrm{y}=\tan (a x+b)\) có chu kỳ \(T_{0}=\frac{\pi}{|a|}\)
\({ }^{*} \mathrm{y}=\cot (a x+b)\) có chu kỳ \(T_{0}=\frac{\pi}{|a|}\)
- \(\mathrm{y}=f_{l}(x)\) có chu kỳ \(\mathrm{T}_{1} ; \mathrm{y}=f_{2}(x)\) có chu kỳ \(\mathrm{T}_{2}\)
Thì hàm số \(y=f_{1}(x) \pm f_{2}(x)\) có chu kỳ \(\mathrm{T}_{0}\) là bội chung nhỏ nhất của \(\mathrm{T}_{1}\) và \(\mathrm{T}_{2}\).
- Bài tập
Tìm chu kì tuần hoàn các hàm số sau
a) \(y=1-\sin 5 x\)
b) \(y=2 \cos ^{2} 2 x\)
c) \(y=\tan (-3 x+1)\)
d) \(y=2-3 \cot (2 x-1)\)
Giải
a) \(T=\frac{2 \pi}{5}\).
b) \(y=2 \frac{1+\cos 4 x}{2}=1+\cos 4 x \Rightarrow T=\frac{\pi}{2}\).
c) \(T=\frac{\pi}{|-3|}=\frac{\pi}{3}\)
d) \(T=\frac{\pi}{2}\).
5. Cách giúp tăng năng suất học tập
Trên đây là bài viết tổng hợp đầy đủ tất tần tật kiến thức hàm số lượng giác. Examon hy vọng sau khi đọc song các bạn cũng phần nào củng cố thêm kiến thức của mình. Tuy nhiên để học tập tốt bạn cũng cần có phương pháp học hiệu quả. Hãy đồng hành cùng Examon để biết thêm nhiều kiến thức mới nhé
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!