Lý thuyết giá trị lượng giác của một cung

I. Giá trị lượng giác của cung a

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung \(\widehat{A M}\) có số đo \(\widehat{A M}=\mathrm{a}\) (còn viết \(\widehat{A M}=\mathrm{a}\) )

Tung độ \(\mathrm{y}=\overline{\mathrm{OK}}\) của điểm \(\mathrm{M}\) gọi là sin của \(\alpha\) và kí hiệu là sin\(\alpha\)

\[\sin \alpha=\overline{\mathrm{OK}}\]

Hoành độ \(x=\overline{\mathrm{OH}}\) của điểm \(\mathrm{M}\) gọi là cosin của \(\alpha\) và kí hiệu là cos\(\alpha\)

\[\cos\alpha=\overline{\mathrm{OH}}\]

Nếu \(\cos \alpha \neq 0\), tỉ số \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) gọi là tang của \(\alpha\) và kí hiệu là tan\(\alpha\) (người ta còn dùng kí hiệu tg \(\alpha\))

\[\operatorname{Tan} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\]

Nếu sin\(\alpha\) \(\neq 0\) tỉ số \(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) gọi là cotang của a và kí hiệu là cot\(\alpha\) (người ta còn dùng kí hiệu cotg \(\alpha\) )

\[\cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .\]

Các giá trị sina, cos\(\alpha\) , tan\(\alpha\) , cot\(\alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của cung \(\alpha\). Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

2. Hệ quả

1) sin\(\alpha\) và cos\(\alpha\) xác định với mọi \(a \in R\). Hơn nữa, ta có

\[\begin{array}{l}\sin (a+k 2 \pi)=\sin a, \forall k \in Z ; \\\cos (a+k 2 \pi)=\cos a, \forall k \in Z\end{array}\]

2) Vì \(-1 \leq \overline{\mathrm{OK}} \leq 1 ;-1 \leq \overline{\mathrm{OH}} \leq 1\) nên ta có

\[\begin{array}{l}-1 \leq \sin \alpha \leq 1 \\-1 \leq \cos \alpha \leq 1\end{array}\]

3) Với mọi \(m \in R\) mà \(-1 \leq m \leq 1\) đều tồn tại \(\alpha\) và \(\beta\) sao cho \(\sin \alpha=m\) và \(\cos \beta=m\).

4) tan xác định với mọi \(\alpha \neq \frac{\pi}{2} \quad+k \pi(k \in Z)\)

5) cot\(\alpha\) xác định với mọi \(\alpha \neq k \pi(k \in Z)\)

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung \(=\alpha\) trên đường tròn lượng giác.

3. Giá trị lượng giác cung đặc biệt.

II. Ý nghĩa hình học của tang và côtang

1. Ý nghĩa hình học của tana

Từ A vẽ tiếp tuyến t'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A.

Gọi T là giao điểm của \(\mathrm{OM}\) với trục t'At.

Tan\(\alpha\) được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{A T}\) trên trục t'At. Trục t'At được gọi là trục tang.

2. Ý nghĩa hình học của cota

Từ \(B\) vẽ tiếp tuyến s'Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B.

Gọi S là giao điểm của \(\mathrm{OM}\) với trục s'Bs

cot\(\alpha\) được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{B S}\) trên trục s'Bs. Trục s'Bs được gọi là trục côtang.

III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác.

1. Công thức lượng giác cơ bản.

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

\[\begin{array}{l}\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \\1+\tan ^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}, \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z) \\1+\cot ^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}, \alpha \neq \mathrm{k} \pi(k \in Z) \\\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1, \alpha \neq \frac{\mathrm{k} \pi}{2}(\mathrm{k} \in \mathrm{Z})\end{array}\]

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.

1) Cung đối nhau: \(\alpha\) và \(-\alpha\)

\[\begin{array}{l}\cos (-a)=\cos \alpha \\\sin (-a)=-\sin a \\\tan (-a)=-\tan a \\\cot (-a)=-\cot \alpha\end{array}\]

2) Cung bù nhau: \(\alpha\) và \(\pi-\alpha\)

\[\begin{array}{l}\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha \\\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha \\\tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha \\\cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha\end{array}\]

3) Cung hơn kém \(\pi\) : \(\alpha\) và \((\alpha+\pi)\)

\[\begin{array}{l}\sin (a+\pi)=-\sin \alpha \\\cos (a+\pi)=-\cos \alpha \\\tan (a+\pi)=\tan \alpha \\\cot (a+\pi)=\cot \alpha\end{array}\]

4) Cung phụ nhau: \(\alpha\) và ( \(\frac{\pi}{2}-\alpha\) )

\[\begin{array}{l}\sin \left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cos \alpha \\\cos \left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\sin \alpha \\\tan \left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cot \alpha \\\cot \left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\tan \alpha\end{array}\]

IV. Lời kết

Các để bắt đầu một bài học mới đó chính là học lý thuyết. Hy vọng qua bài viết lý thuyết giá trị lượng giác của một cung cho bạn cái nhìn bao quát về chương lượng giác.

V. Mở đầu dễ dàng hơn

Ai cũng sẽ gặp khó khăn khi bắt đầu một cái gì đó. Học cũng vậy, bắt đầu một chương mới không phải là dễ dàng. Hy vọng các bài lý thuyết ngắn gọn của Examon sẽ giúp bạn cảm thấy dễ dàng hơn trong quá trình bắt đầu.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!