Lý thuyết Đạo hàm và bài tập có đáp án

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a ; b)\) và \(x_{0} \in(a ; b)\).Nếu tồn tại giới hạn (hứu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_{0}\) và kí hiệu là \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\) (hoặc \(y^{\prime}\left(x_{0}\right)\) ), tức là

Đại lượng \(\Delta x=x-x_{0}\) : gọi là số gia của biến số tại \(x_{0}\).

Đại lượng \(\Delta y=f(x)-f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\) : gọi là số gia của hàm số.

- Quy tắc tính đạo hàm

Giả sử \(u=u(x), v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định.

Ta có:

1. \((k \cdot u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}\)              \(k\) là hằng số;

2. \((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\)         Đạo hàm của một tống;

3. \((u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\)       Đạo hàm của một tích;

4. \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, v \neq 0\)   Đạo hàm của một thương.

Đạo hàm của hàm sơ cấp                                   Đạo hàm của hàm hợp \(u=u(x)\)

1. \((C)^{\prime}=0, C\) là hằng số

2. \((x)^{\prime}=1\)

3. \(\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}\)                                               \(\left(u^{a}\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{a-1} \cdot u^{\prime}\)                  

4. \(\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\)                                                     \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}\)

5. \((\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)                                                    \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\)

6. \(\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\)                                                          \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\)

7. \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a ; a \in \mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\)                         \(\left(a^{a}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^{u} \cdot \ln a\)

8. \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\)                                                        \((\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\)

9. \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a}\)                                               \(\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}\)

10. \((\sin x)^{\prime}=\cos x\)                                                \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)

11. \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\)                                            \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)

12. \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\)                       \((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u\right)\)

13. \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-1\left(1+\cot ^{2} u\right)\)             \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^{2} u}=-u^{\prime}\left(1+\cot ^{2} u\right)\)

14. \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)                                        \((\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

15. \((\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)                                        \((\arccos u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

16. \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\)                                          \((\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

17. \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}\)                                           \((\operatorname{arccot} u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{x(1-3 x)}{x+1}\)

A. \(y^{\prime}=\frac{-9 x^{2}-4 x+1}{(x+1)^{2}}\)

B. \(y^{\prime}=\frac{-3 x^{2}-6 x+1}{(x+1)^{2}}\)

C. \(y^{\prime}=1-6 x^{2}\)

D. \(y^{\prime}=\frac{1-6 x^{2}}{(x+1)^{2}}\)

Giải:

\(y=\frac{x-3 x^{2}}{x+1} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{(1-6 x) \cdot(x+1)-\left(x-3 x^{2}\right)}{(x+1)^{2}}=\frac{-3 x^{2}-6 x+1}{(x+1)^{2}}\).

Chọn B.

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}+x}{x-2}\) tại điểm \(x=1\)

A. \(f^{\prime}(1)=-4\)

B. \(f^{\prime}(1)=-3\)

C. \(f^{\prime}(1)=-2\)

D. \(f^{\prime}(1)=-5\)

Giải:

 \(f^{\prime}(x)=\frac{(2 x+1) \cdot(x-2)-\left(x^{2}+x\right)}{(x-2)^{2}}=\frac{x^{2}-4 x-2}{(x-2)^{2}} \Rightarrow f^{\prime}(1)=-5\). 

Chọn D.

Câu 3. Hàm số nào sau đây có đạo hàm là hàm số \(2 x+\frac{1}{x^{2}}\) ?

A. \(y^{\prime}=\frac{x^{3}-1}{x}\)

B. \(y^{\prime}=\frac{3\left(x^{2}+x\right)}{x^{3}}\)

C. \(y^{\prime}=\frac{x^{3}+5 x-1}{x}\)

D. \(y^{\prime}=\frac{2 x^{2}+x-1}{x}\)

Giải:

 \(\left(x^{2}\right)^{\prime}=2 x,\left(\frac{-1}{x}\right)^{\prime}=\frac{1}{x^{2}}\) do đó \(y=x^{2}-\frac{1}{x}=\frac{x^{3}-1}{x}\). 

Chọn A.

Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{-2 x^{2}+x-7}{x^{2}+3}\)

A. \(y^{\prime}=\frac{-3 x^{2}-13 x-10}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}\)

B. \(y^{\prime}=\frac{-x^{2}+x+3}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}\)

C. \(y^{\prime}=\frac{-x^{2}+2 x+3}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}\)

D. \(y^{\prime}=\frac{-7 x^{2}-13 x-10}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}\)

Giải:  \(y^{\prime}=\frac{(-4 x+1)\left(x^{2}+3\right)-2 x\left(-2 x^{2}+x-7\right)}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}\) \(=\frac{-4 x^{3}+x^{2}-12 x+3+4 x^{3}-2 x^{2}+14 x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}=\frac{-x^{2}+2 x+3}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}\).

 Chọn C.

Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{1-2 x^{2}}\)

A. \(y^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{1-2 x^{2}}}\)

B. \(y^{\prime}=\frac{-4 x}{\sqrt{1-2 x^{2}}}\)

C. \(y^{\prime}=\frac{-2 x}{\sqrt{1-2 x^{2}}}\)

D. \(y^{\prime}=\frac{2 x}{\sqrt{1-2 x^{2}}}\)

Giải:

 \(y^{\prime}=\frac{\left(1-2 x^{2}\right)^{\prime}}{2 \sqrt{1-2 x^{2}}}=\frac{-4 x}{2 \sqrt{1-2 x^{2}}}=\frac{-2 x}{\sqrt{1-2 x^{2}}}\). 

Chọn C.

Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{x^{2}-4 x^{3}}\)

A. \(y^{\prime}=\frac{x-6 x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4 x^{3}}}\)

B. \(y^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x^{2}-4 x^{3}}}\)

C. \(y^{\prime}=\frac{x-12 x^{2}}{2 \sqrt{x^{2}-4 x^{3}}}\)

D. \(y^{\prime}=\frac{x-6 x^{2}}{2 \sqrt{x^{2}-4 x^{3}}}\)

Giải:

\(y^{\prime}=\frac{\left(x^{2}-4 x^{3}\right)^{\prime}}{2 \sqrt{x^{2}-4 x^{3}}}=\frac{2 x-12 x^{2}}{2 \sqrt{x^{2}-4 x^{3}}}=\frac{x-6 x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4 x^{3}}}\). 

Chọn A.

Câu 7. Tính đạo hàm cuia hàm số \(f(x)=\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\) tại điểm \(x=\frac{\pi}{8}\).

A. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{3}{4}\).

B. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{8}\right)=1\).

C. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{8}\right)=-1\).

D. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{8}\right)=0\).

Giải:

Ta có \(f(x)=\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x=1-\frac{1}{2} \sin ^{2} 2 x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \cos 4 x\)

Câu 8 . Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\) tại điềm \(x=\frac{\pi}{4}\).

A. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\).

B. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=1\).

C. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=-2\).

D. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=0\).

Giải:

 Ta có \(f(x)=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=\cos 2 x \longrightarrow f^{\prime}(x)=-2 \sin 2 x\)

Suy ra \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=-2 \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)=-2\). Chọn C.

Câu 9 . Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)=\sin 2 x-2 x \cos 2 x\) tại điểm \(x=\frac{\pi}{4}\).

A. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{4}\).

B. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}\).

C. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=1\).

D. \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=\pi\).

Giải:

\(f^{\prime}(x)=(\sin 2 x-2 x \cos 2 x)^{\prime}=2 \cos 2 x-2 \cos 2 x+4 x \sin 2 x=4 x \sin 2 x\)

Suy ra \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=4 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \sin \left(2 \frac{\pi}{4}\right)=\pi\). Chọn D.

Câu 10 . Tính đạo hàm của hàm số \(y=-\frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{3}-x^{2}\right)\).

A. \(y^{\prime}=x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^{2}\right)\).

B. \(y^{\prime}=\frac{1}{2} x^{2} \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right)\).

C. \(y^{\prime}=\frac{1}{2} x \sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)\).

D. \(y^{\prime}=\frac{1}{2} x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^{2}\right)\).

Giải:

 \(y^{\prime}=\frac{-1}{2} \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^{2}\right) \cdot\left(\frac{\pi}{3}-x^{2}\right)^{\prime}=\frac{-1}{2} \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^{2}\right) \cdot(-2 x)\)

Do đó \(y^{\prime}=x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^{2}\right)\). Chọn A.

Câu 11. Tính đạo hà, của hàm số \(y=\sin \left(x^{2}-3 x+2\right)\).

A. \(y^{\prime}=\cos \left(x^{2}-3 x+2\right)\).

B. \(y^{\prime}=(2 x-3) \sin \left(x^{2}-3 x+2\right)\).

C. \(y^{\prime}=(2 x-3) \cos \left(x^{2}-3 x+2\right)\)

D. \(y^{\prime}=-(2 x-3) \cos \left(x^{2}-3 x+2\right)\).

Giải:

\(y^{\prime}=\cos \left(x^{2}-3 x+2\right) \cdot\left(x^{2}-3 x+2\right)^{\prime}=\cos \left(x^{2}-3 x+2\right) \cdot(2 x-3)\)

Do đó \(y^{\prime}=(2 x-3) \cos \left(x^{2}-3 x+2\right)\). Chọn \(\mathbf{C}\).

Câu 12 . Tính đạo hàm của hàm số \(y=x^{2} \tan x+\sqrt{x}\).

A. \(y^{\prime}=2 x \tan x+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\).

B. \(y^{\prime}=2 x \tan x+\frac{1}{\sqrt{x}}\).

C. \(y^{\prime}=2 x \tan x+\frac{x^{2}}{\cos ^{2} x}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\).

D. \(y^{\prime}=2 x \tan x+\frac{x^{2}}{\cos ^{2} x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\).

Giải:

\(y^{\prime}=\left(x^{2} \tan x\right)^{\prime}+(\sqrt{x})^{\prime}=\left(2 \mathrm{x} \tan x+x^{2} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}\right)+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)

Do đó \(y^{\prime}=2 \mathrm{x} \tan x+x^{2} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\). Chọn \(\mathbf{C}\).

 Câu 13  Cho hàm số \(y=\frac{x^{2}+2 x-3}{x+2}\). Đạo hàm \(y^{\prime}\) của hàm số là

A. \(1+\frac{3}{(x+2)^{2}}\).

B. \(\frac{x^{2}+6 x+7}{(x+2)^{2}}\).

C. \(\frac{x^{2}+4 x+5}{(x+2)^{2}}\).

D. \(\frac{x^{2}+8 x+1}{(x+2)^{2}}\).

Hướng dẫn giải: 

Đáp án A.

Câu 14 . Cho hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{x-1}\). Xét hai câu sau:\((I): f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{(x-1)^{2}}, \forall x \neq 1\).

(II): \(f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-2 x}{(x-1)^{2}}, \forall x \neq 1\).Hãy chọn câu đúng:

A. Chi \((I)\) dúng.

B. Chỉ (II) dúng.

C. Cà \((I)\); \(I I)\) đều sai.

D. \(\mathrm{Cà}(I) ;\) II \()\) đều đúng.

Hướng dẫn giải: 

Chon D

Áp dụng công thức \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} \cdot v-v^{\prime} \cdot u}{v^{2}}\) ta có:

\(\forall x \neq 1\), ta có: \(f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{x-1} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{\left(x^{2}+x-1\right)^{\prime} \cdot(x-1)-(x-1)^{\prime} \cdot\left(x^{2}+x-1\right)}{(x-1)^{2}}\)\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{(2 x+1) \cdot(x-1)-1 \cdot\left(x^{2}+x-1\right)}{(x-1)^{2}}=\frac{2 x^{2}-2 x+x-1-x^{2}-x+1}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2 x}{(x-1)^{2}} \Rightarrow(I I)\) Đúng. 

Mặt khác: \(f^{\prime}(x)-\frac{x^{2}-2 x}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2 x+1-1}{(x-1)^{2}}=\frac{(x-1)^{2}-1}{(x-1)^{2}}=1-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Rightarrow(I)\) Đúng. 

Câu 15. Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} & \text { khi } x \geq 1 \\ 2 x-1 & \text { khi } x\lt 1\end{array}\right.\). Hãy chọn câu sai:

A. \(f^{\prime}(1)=1\).

B. Hàm số có đạo hàm tại \(x_{0}=1\).

C. Hàm số liên tục tại \(x_{0}=1\).

D. \(f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x & \text { khi } x \geq 1 \\ 2 & \text { khi } x\lt 1\end{array}\right.\).

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: \(f(1)=1\)

Vâyy hàm số liên tục tại \(x_{0}=1 . \mathrm{C}\) đủng .Ta có: \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(x+1)=2\)

Vạy hàm số có đạo hàm tại \(x_{0}=1\) và \(\Rightarrow y^{\prime}=-2 \sin 2 x \Rightarrow y^{\prime \prime}=-4 \cos 2 x \Rightarrow y^{\prime \prime}(0)=-4\)

 Câu 16. Tỉnh đạo hàm của hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+x+1 \text { khi } x \leq 1 \\ \sqrt{x-1}+3 \text { khi } x\gt 1\end{array}\right.\)

A. \(f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x \text { khi } x\lt 1 \\ \frac{1}{2 \sqrt{x-1}} \text { khi } x>1\end{array}\right.\)

B. \(f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1 \text { khi } x\lt 1 \\ -\frac{1}{\sqrt{x-1}} \text { khi } x>1\end{array}\right.\)

C. \(f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+1 & \text { khi } x\lt 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x-1}} & \text { khi } x>1\end{array}\right.\)

D. \(f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1 \text { khi } x\lt 1 \\ \frac{1}{2 \sqrt{x-1}} \text { khi } x>1\end{array}\right.\)

Hướng dẫn giải

Chon D

Vơi \(x\lt 1\) ta có: \(f^{\prime}(x)=2 x+1\)Với \(x>1\) ta có: \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}\)Tại \(x=1\) ta có:

\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^{2}+x-2}{x-1}=3\)\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1}=+\infty\) suy ra hàm số không có đạohàm taii \(x=1\)Vậy \(f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1 \text { khi } x\lt 1 \\ \frac{1}{2 \sqrt{x-1}} \text { khi } x>1\end{array}\right.\).

Câu 17. Tìm \(a, b\) để các hàm số sau có đạo hàm trên \(R . f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-x+1 \quad \text { khi } x \leq 1 \\ -x^{2}+a x+b & \text { khi } x\gt 1\end{array}\right.\)

A. \(\left\{\begin{array}{l}a=13 \\ b=-1\end{array}\right.\)

B. \(\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=-11\end{array}\right.\)

C. \(\left\{\begin{array}{l}a=23 \\ b=-21\end{array}\right.\)

D. \(\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=-1\end{array}\right.\)

Huớng dẫn giaii:

Chọn D

Với \(x \neq 1\) thì hàm số luôn có đạo hàm

Do đó hàm số có đạo hàm trên \(R \Leftrightarrow\) hàm số có đạo hàm tại \(x=1\).

Ta có \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=1 ; \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=a+b-1\)

Hàm số liên tục trên \(R \Leftrightarrow a+b-1=1 \Leftrightarrow a+b=2\)

Khi đó: \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1\);

Nên hàm số có đạo hàm R thì \(\left\{\begin{array}{l}a+b=2 \\ a-2=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=-1\end{array}\right.\right.\).