LẤY GỐC NGUYÊN HÀM nhanh và hiệu quả

Định nghĩa

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \(K\). Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) nếu \(F^{\prime}(x)=f(x)\) với mọi \(x \in K\).

Nhận xét. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì \(F(x)+C,(C \in \mathbb{R})\) cũng là nguyên hàm của \(f(x)\).

Ký hiệu: \(\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C\).

Định lý

Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng \((a, b)\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng đó đều có dạng \(F(x)+C\) với \(C\) là một hằng số tùy ý.

Tích phân bất định của hàm số \(f(x)\), ký hiệu \(\int f(x) d x\), là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm \(f(x)\)

Trong ký hiệu đó ta có:

- Ký hiệu \(\int\) để chỉ tích phân bất định;

- \(f(x) d x\) : gọi là biểu thức dưới dấu tích phân;

- \(f(x)\) : gọi là hàm dưới dấu tích phân;

- \(x\) : gọi là biến của tích phân.

Để diễn tả rõ hơn khái niệm tích phân bất định ở trên, ta ký hiệu

Trong đó \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x), C\) là hằng số bất kỳ.

Ví dụ.

Sau đây là các hệ quả được suy ra trực tiếp từ định nghĩa:

Các tính chất cơ bản:

\(\int k \cdot f(x) d x=k \cdot \int f(x) d x, \quad k\) là hằng số.

Phương pháp dùng định nghĩa vá tính chất

+ Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa \(x\).

+ Đưa các mỗi biểu thức chứa \(x\) về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

+ Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ minh hoạ:

a, \(\int\left(4 x^{5}+2 x^{-3}=x^{\frac{-1}{3}}\right) d x\)

b, \(\int(x(3 \sqrt{x}-2)) d x\)

Lời giải chi tiết:

a, \(\int\left(4 x^{5}+2 x^{-3}-x^{\frac{1}{3}}\right) d x\)

\(\begin{array}{l}=4 \frac{x^{6}}{6}+2 \frac{x^{-2}}{-2}-\frac{x^{1+\frac{1}{3}}}{1+\frac{1}{3}}+C \\ =\frac{2}{3} x^{6}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\text { b) } \int x(3 \sqrt{x}-2) d x \\ =\int(3 x \sqrt{x}-2 x) d x=\int\left(3 x^{\frac{3}{2}}-2 x\right) d x \\ =3 \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-2 \frac{x^{2}}{2}+C=\frac{6}{5} x^{2} \sqrt{x}-x^{2}+C\end{array}\)

Khi giải tích phân \(\int f(x) d x\) ta gặp hàm \(f(x)\) khá phúc tạp, khó lấy nguyên hàm, nên ta sẽ tìm cách đổi qua biên mới, để được tích phân của hàm theo biến mới đơn giản hơn. Phép đổi biến trong tích phân bất định được thực hiện nhờ hai dạng thay thế sau đây:

\(\checkmark\) Đặt \(t=\varphi(x)\), trong đó \(t\) là biến mới. Với phép thế này, công thức sẽ là:

\(\checkmark\) Đặt \(x=\varphi(t)\), trong đó \(\varphi(t)\) là hàm đơn điệu, khả vi theo biến mới \(t\). Khi đó công thức đổi biến sẽ là:

Giả sử \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó. Trong khoảng đó ta có:

Công dụng của công thức (*) ở chỗ là trong thực hành thay vì lấy tích phân \(\int u d v\) đang ở dạng phức t

Ví dụ:   \(\int \frac{e^{\tan x}}{\cos ^{2} x} d x\)

Đăt \(\mathrm{t}=x^{2}\), suy ra \(\mathrm{dt}=2 \mathrm{xdx}\)

Khi đó \(\int x e^{x^{2}} d x=\frac{1}{2} \int e^{t} d t\)

Giả sử \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó. Trong khoảng đó ta có:

Công dụng của công thức (*) ở chỗ là trong thực hành thay vì lấy tích phân \(\int u d v\) đang ở dạng phúc tạp, ta lây tích phân \(\int v d u\) nhiêu khi có dạng đơn giản hơn.

Chú ý.

i. Để tính \(\int f(x) d x\) bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phân tích \(f(x)=g(x) \cdot h(x)\), sau đó đặt

ii. Nếu đặt không khéo sẽ dẫn đến \(\int v d u\) phức tạp hơn.

iii. Vậy ta cần đặt nhu thế nào?

Chú ý.

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot \ln x d x\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=P(x) d x\end{array}\right.\) với \(P(x)\) là đa thức.

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot L G d x\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ d v=L G d x\end{array}\right.\) với \(L G=\) lượng giác.

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot L G N d x \quad\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{ll}u=L G N & \text { vói } L G N=\text { lượng } \\ d v=P(x) d x & \text { giác ngược. }\end{array}\right.\)

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot a^{x} d x, \quad\) ta đặt \(\quad\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ d v=a^{x} d x\end{array}\right.\)

Vi du: 

a) \(I=\int x e^{2 x} d x\)

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=e^{2 x} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=\frac{1}{2} e^{2 x}\end{array}\right.\right.\).

Ta có   \(\begin{aligned}I & =\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x \\& =\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{4} e^{2 x}+C .\end{aligned}\)