Kỹ thuật đổi biến số tích phân hàm ẩn
Hãy cùng Examon đi tìm cách giải quyết bài toán đó ở bài viết dưới đây nhé !
Mục lục bài viết
Tích phần hàm ẩn là một dạng toán nâng cao của các bài tập tích phân. Để giải quyết bài toán đó có rất nhiều phương pháp khác nhau như : sử dụng định nghĩa, tích chất; đổi biến số; tích phân từng phần; ....Ở bài viết này Examon sẽ tổng hợp cho bạn các kỹ thuật đổi biến số trong tích phân hàm ẩn.

1. Tích phân hàm ẩn đổi biến số dạng 1
1.1. Phương pháp giải
Cho \(\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) \cdot f[u(x)] \mathrm{d} x\), tính \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, \operatorname{tính} \int_{a}^{b} u^{\prime}(x) \cdot f[u(x)] \mathrm{d} x\).
Với bài tập này ta sẽ đối biến \(t=u(x)\)
+ Lưu ý :
\[\text {}\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(u) \mathrm{d} u\]1.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho \(\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x=16\). Tính \(I = \int_{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x\)
Lời giải
Xét tích phân \(I = \int_{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x\).
Đặt \(2 x=t \Rightarrow \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \mathrm{dt}\).
Đổi biến :
Khi \(x=0\) thì \(t=0\);
Khi \(x=2\) thì \(t=4\).
Do đó \(I = \int_{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(t) \mathrm{dt}=\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \cdot 16=8\).
Ví dụ 2: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(R\), thỏa mãn điều kiện \(\int_{1}^{16} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x=6\) và \(\int 0 \frac{\pi}{2} f(\sin x) \cos x d x=3\). Hãy tìm tích phân \(\int_{0}^{4} f(x) d x\)
Lời giải
Xét: \(I=\int_{1}^{16} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x=6\), đặt \(\sqrt{x}=t \Rightarrow \frac{d x}{2 \sqrt{x}}=d t\)
Đổi cận: \(x=1\) \(\Rightarrow t=1, x=16 \Rightarrow t=4\)
nên \(I=2 \int_{1}^{4} f(t) d t=6 \Rightarrow \int_{1}^{4} f(t) d t-\frac{6}{2}=3\)
\(J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x d x=3\), đặt \(\sin x=u \Rightarrow \cos x d x=d u\)
Đổi cận:
\[\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow u=0, x=\frac{\pi}{2}=1 \Rightarrow J=\int_{0}^{1} f(u) d u=3 \\I=\int_{0}^{4} f(x) d x=\int_{0}^{1} f(x) d x+\int_{1}^{4} f(x) d x=3+3=6\end{array}\]2. Tích phân hàm ẩn đổi biến số dạng 2
2.1. Phương pháp giải
Tính \(\int_{a}^{b} f(x) d x\), biết hàm số \(f(x)\) thỏa mãn :
\(A.f(x)+B \cdot u^{\prime} \cdot f(u)+C \cdot f(a+b-x)=g(x)\).
Với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần lưu ý rằng :
+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số \(A, B, C\).
+ Nếu \(f(x)\) liên tục trên \([a ; b]\) thì \(\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x\)
+ Với \(\left\{\begin{array}{l}u(a)=a \\ u(b)=b\end{array}\right.\) thì \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{1}{A+B+C} \int_{a}^{b} g(x) d x\).
+ Với \(\left\{\begin{array}{l}u(a)=b \\ u(b)=a\end{array}\right.\) thì \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{1}{A-B+C} \int_{a}^{b} g(x) d x\).
2.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ: Xét \(f(x)\) liên tục trên \([-1 ; 2]\) và thỏa mãn \(f(x)+2 x f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}\). Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{-1}^{2} f(x) d x\).
Lời giải
Với: \(f(x)+(2 x) f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}\).
Ta có:\(A=1 ; B=1 ; C=3\) và \(u=x^{2}-2\) thỏa mãn \(\left\{\begin{array}{l}u(-1)=-1 \\ u(2)=2\end{array}\right.\).
Khi đó áp dụng công thức có:
\[I=\int_{-1}^{2} f(x)=\frac{1}{1+1+3} \int_{-1}^{2} 4 x^{3} \mathrm{dx}=\left.\frac{x^{4}}{5}\right|_{-1} ^{2}=3\]3. Tích phân hàm ẩn đổi biến số dạng 3
3.1. Phương pháp giải
Đặt \(t=u(x)\) và \(t=v(x)\) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn \(f(x)\) ) để suy ra hàm số \(f(x)\) (nếu \(u(x)=x\) thì chỉ cần đặt một lần \(t=v(x)\) ).
Các trường hợp đặc biệt:
Cho \(A \cdot f(a x+b)+B \cdot f(-a x+c)=g(x)\) với \(\left.A^{2} \neq B^{2}\right)\) khi đó \(f(x)=\frac{A \cdot g\left(\frac{x-b}{a}\right)-B \cdot g\left(\frac{x-c}{-a}\right)}{A^{2}-B^{2}}(*)\)
+ Hệ quả 1 của \(\left(*^{*}\right): A \cdot f(x)+B \cdot f(-x)=g(x) \Rightarrow f(x)=\frac{A \cdot g(x)-B \cdot g(-x)}{A^{2}-B^{2}}\)
+ Hệ quả 2 của \((*): A \cdot f(x)+B \cdot f(-x)=g(x) \Rightarrow f(x)=\frac{g(x)}{A+B}\) với \(g(x)\) là hàm số chẵn.
3.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ: Cho hàm số \(y = f{\left( x \right )}\) liên tục trên \(R \backslash \left\lbrace 0 \right \rbrace\) và thỏa mãn \(I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} f{\left( \frac{1}{x} \right )} dx\), \(\int_{3}^{9} f{\left( x \right )} dx = k\). Tính \(k\) theo \(2 f{\left( 3 x \right )} + 3 f{\left( \frac{2}{x} \right )} = - \frac{15 x}{2}\).
Lời giải.
Đặt \(t=2 x \Rightarrow \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \mathrm{~d} t\). Đổi cận \(\left\lvert\, \begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \Rightarrow t=1 \\ x=\frac{3}{2} \Rightarrow t=3\end{array}\right.\).
Khi đó \(I=\frac{1}{2} \int_{1}^{3} f\left(\frac{2}{t}\right) \mathrm{d} x\).
Mà \(2 f(3 x)+3 f\left(\frac{2}{x}\right)=-\frac{15 x}{2} \Leftrightarrow f\left(\frac{2}{x}\right)=-\frac{5 x}{2}-\frac{2}{3} f(3 x)\)
Nên \(I=\frac{1}{2} \int_{1}^{3}\left[-\frac{5 x}{2}-\frac{2}{3} f(3 x)\right] \mathrm{d} x\)
\(=-\frac{5}{4} \int_{1}^{3} x \mathrm{~d} x-\frac{1}{3} \int_{1}^{3} f(3 x) \mathrm{d} x=-5-\frac{1}{3} \int_{1}^{3} f(3 x) \mathrm{d} x\left({ }^{*}\right)\)
Đặt \(u=3 x \Rightarrow \mathrm{d} x=\frac{1}{3} \mathrm{~d} x\).
Đổi cận \(\left\lvert\, \begin{array}{l}x=1 \Rightarrow u=3 \\ x=3 \Rightarrow t=9\end{array}\right.\).
Khi đó \(I=-5-\frac{1}{9} \int_{3}^{9} f(t) \mathrm{d} t=-5-\frac{k}{9}=-\frac{45+k}{9}\).
4. Tích phân hàm ẩn đổi biến số dạng 4
4.1. Phương pháp giải
Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \(g[f(x)]=x\) và \(g(t)\) là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên \(\mathbb{R}\).Hãy tính tích phân \(I=\int_{a}^{b} f(x) d x\)
Đặt \(y=f(x) \Rightarrow x=g(y) \Rightarrow d x=g^{\prime}(y) d y\)
Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l}x=a \rightarrow g(y)=a \Leftrightarrow y=\alpha \\ x=b \rightarrow g(y)=b \Leftrightarrow y=\beta\end{array}\right.\)
Suy ra \(I=\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{\alpha}^{\beta} y g(y) d y\)
4.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ: Cho hàm số \(R\) liên tục trên \(f{\left( x \right )}\) thỏa mãn \(I = \int_{- 2}^{1} f{\left( x \right )} dx\). Tính\(x + f^{3}{\left( x \right )} + 2 f{\left( x \right )} = 1 , \forall x \in R\)
Lời giải.
Đặt \(y=f(x) \Rightarrow x=2 y^{3}-3 y^{2}+6 y \Rightarrow \mathrm{d} x=6\left(y^{2}-y+1\right) \mathrm{d} y\).
Đổi cận: với \(x=0 \Rightarrow 2 y^{3}-3 y^{2}+6 y=0 \Leftrightarrow y=0\) và \(x=5 \Rightarrow 2 y^{3}-3 y^{2}+6 y=5 \Leftrightarrow y=1\).
Khi đó
\(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} y \cdot 6\left(y^{2}-y+1\right) \mathrm{d} y=6 \int_{0}^{1}\left(y^{3}-y^{2}+y\right) \mathrm{d} y=\frac{5}{2}\).
5. Tích phân hàm ẩn đổi biến số dạng 5
5.1. Phương pháp giải
Cho \(f(x) \cdot f(a+b-x)=k^{2}\), khi đó \(I=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k+f(x)}=\frac{b-a}{2 k}\)
Chứng minh:
Đặt \(t=a+b-x \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d t=-d x \\ f(x)=\frac{k^{2}}{f(t)}\end{array}\right.\) và \(x=a \Rightarrow t-b ; x=b \Rightarrow t=a\).
Khi đó \(I=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k+f(x)}=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k+\frac{k^{2}}{f(t)}}=\frac{1}{k} \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{f}(x) \mathrm{d} x}{k+f(x)}\).
\(2 I=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k+f(x)}+\frac{1}{k} \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{f}(x) \mathrm{d} x}{k+f(x)}=\frac{1}{k} \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x=\frac{1}{k}(b-a) \Rightarrow I=\frac{b-a}{2 k}\).
5.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbf{R}\) và \(f(x)\gt 0\) khi \(\mathrm{x} \in[0 ; \mathrm{a}](a>0)\). Biết \(f(x) \cdot f(a-x)=1\), tính tích phân \(I=\int_{0}^{a} \frac{d x}{1+f(x)}\).
Lời giải.
\(I=\int_{0}^{a} \frac{d x}{1+f(x)}(1)\) Đặt \(t=a-x \Rightarrow d t=-d x\)
\(\Rightarrow I=\int_{a}^{0}-\frac{d t}{1+f(a-t)}=\int_{0}^{a} \frac{1}{1+f(a-t)} d t=\int_{0}^{a} \frac{1}{1+f(a-x)} d x\)(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)
\[\begin{array}{l}(1)+(2) \Rightarrow 2 I=\int_{0}^{a}\left[\frac{1}{1+f(x)}+\frac{1}{1+f(a-x)}\right] d x \\=\frac{1+f(a-x)+1+f(x)}{1+f(x) \cdot f(a-x)+f(x)+f(a-x)} d x=\int_{0}^{2} \frac{2+f(a-x)+f(x)}{2+f(a-x)+f(x)} d x=\int_{0}^{a} d x=a \Rightarrow I=\frac{a}{2}\end{array}\]
6. Cách học hiệu quả như thế nào ?
Kỹ thuật đổi biến số là vô cùng quan trọng nó thường xuất hiện nhiều trong các câu vận dụng cao ở các đề thi THPT . Nhưng để ghi nhớ và hiểu rõ được các dạng toán sử dụng kỹ thuật đổi biến số trong bài tập tích phân hàm ẩn là vô cùng khó khăn. Vì vậy, Examon sẽ cung cấp cho bạn các học hiệu quả "tích phần hàm ẩn " như thế nào là hiệu quả nhất
Đã bao giờ bạn tự hỏi mình rằng tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình đã luôn tìm đáp án cho câu hỏi đó trong suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
Bài tập cuối chương I | 1 |
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%
Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.