Kỹ thuật chọn hàm trong bài toán tích phân cơ bản

1. Hàm hằng

Phương pháp chọn :

Với bài toán đưa ra chỉ có một giả thiết thì ta có cách chọn hàm như sau:

Chọn hàm \(f(x)=a=\) const

Ví dụ : Cho \(I=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=3\). Khi đó \(J=\int_{0}^{2}[4 f(x)-3] \mathrm{d} x\) bằng bao nhiêu ?

Lời giải

Như ta thấy đồ ra chỉ có một giả thuyết nên ta chọn hàm \(f(x)=a\)

Khi đó \(I=\int_{0}^{2} a d x=3 \Rightarrow\gt \left.a x\right|_{0} ^{2}=3 \Leftrightarrow 2 a=3 \Rightarrow a=\frac{3}{2}\)

Vậy \(f(x)=\frac{3}{2}\)

Suy ra \(J=\int_{0}^{2}[4 f(x)-3] \mathrm{d} x=\int_{0}^{2}\left[4 \cdot \frac{3}{2}-3\right] d x=6\)

2. Hàm bậc nhất

Phương pháp chọn :

Với bài toán đưa ra có hai giả thiết thì ta có cách chọn hàm như sau:

Chọn hàm \(f(x)=a x+b\)

Ví dụ : Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 5]\) và \(f(5)=10, \int_{0}^{5} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=30\). Tính \(\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x\).

Lời giải

Như ta thấy đồ ra có hai giả thuyết nên ta chọn hàm \(f(x)=a x+b\)

Khi đó \(\left\{\begin{array}{l}f(5)=10 \\ \int_{0}^{5} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=30\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5 a+b=10 \\ \left.\left(\frac{a x^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{5}=30\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5 a+b=10 \\ \frac{25}{2} a=30\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{12}{5} \\ b=-2\end{array}\right.\right.\right.\right.\)

Vậy \(f(x)=\frac{12}{5} x-2\)

Suy ra \(\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{5}\left(\frac{12}{5} x-2\right) d x=20\)

3. Hàm bậc hai

Phương pháp chọn :

Với bài toán đưa ra có ba giả thiết thì ta có cách chọn hàm như sau:

Chọn hàm \(f(x)=a x^{2}+b x+c\)

4. Hàm chẵn

4.1. Hàm chẵn với 1 giả thiết

Phương pháp chọn :

Với bài toán đưa ra hàm là hàm chẵn và có một giả thiết thì ta có cách chọn hàm như sau:

Chọn hàm \(f(x)=a\)

Ví dụ : Cho \(f(x)\) là hàm chẵn, \(\int_{0}^{2} f(x) d x=10\). Tính \(\int_{-2}^{2} f(x) d x\)

Lời giải

Như ta thấy đề ra có giả thuyết hàm là hàm chẵn một giả thiết nên ta chọn hàm \(f(x)=a\)

Khi đó \(\int_{0}^{2} f(x) d x=10 \Leftrightarrow a=5\)

Vậy \(\int_{-2}^{2} f(x) d x=\int_{-2}^{2} 5 d x=20\)

4.2. Hàm chẵn với 2 giả thiết

Phương pháp chọn :

Với bài toán đưa ra hàm là hàm chẵn và có hai giả thiết thì ta có cách chọn hàm như sau:

Chọn hàm \(f(x)=3 a x^{2}+b\)

Ví dụ : Cho hàm số \(f(x)\) là hàm chẵn và xác định trên \(\mathbb{R}\) thóa mãn các điều kiện: \(\int_{0}^{2} f(x) d x=2\) và \(\int_{0}^{2} f(2 x) d x=-3\). Hãy xác định tích phân: \(I=\int_{-1}^{4} f(x) d x\) ?

Lời giải

Nhận thấy hàm là hàm chẵn và có hai giả thiết ta chọn hàm \(f(x)=3 a x^{2}+b\)

Khi đó \(\left\{\begin{array}{l}\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}\left(3 a x^{2}+b\right) d x=a+b=2 \\ \int_{0}^{2} f(2 x) d x=\int_{0}^{2}\left(3 a(2 x)^{2}+b\right) d x=32 a+2 b=-3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{7}{30} \\ b=\frac{67}{30}\end{array}\right.\right.\)

Suy ra \(f(x)=\frac{-21 x^{2}+67}{30}\)

Vậy \(I=\int_{-1}^{4} f(x) d x=\int_{-1}^{4} \frac{-21 x^{2}+67}{30} d x=-4\)

5. Hàm lẻ

5.1. Hàm lẻ với 1 giả thiết

Phương pháp chọn :

Với bài toán đưa ra hàm là hàm lẻ và có một giả thiết thì ta có cách chọn hàm như sau:

Chọn hàm \(f(x)=2 a x\)

Ví dụ : Cho \(f(x)\) là hàm lé và \(\int_{-2}^{0} f(x) d x=10\). Tính \(\int_{0}^{2} f(-x) d x\)

Lời giải

Nhận thấy hàm có dạng hàm lẻ và có một giả thiết nên ta chọn hàm \(f(x)=2 a x\)

Khi đó \(\int_{-2}^{0} f(x) d x=10 \Leftrightarrow \int_{-2}^{0} 2 a x d x=10 \Rightarrow a=\frac{-5}{2}\)

Suy ra \(f(x)=-5 x\)

Vậy \(\int_{0}^{2} f(-x) d x=\int_{0}^{2} 5 x d x=10\)

5.2. Hàm lẻ với 2 giả thiết

Phương pháp chọn :

Với bài toán đưa ra hàm là hàm lẻ và có hai giả thiết thì ta có cách chọn hàm như sau :

Chọn hàm \(f(x)=4 a x^{3}+2 b x\)

Ví dụ : Cho \(f(x)\) là hàm số lẻ và \(\int_{0}^{3} f(-x)=3 ; \int_{1}^{3} f(-3 x) d x=9\). Tính \(\int_{0}^{2} f(x) d x\)

Lời giải

Nhận thấy hàm có dạng hàm lẻ và có một giả thiết nên ta chọn hàm

\[f(x)=4 a x^{3}+2 b x\]

Khi đó

\(\left\{\begin{array}{l}\int_{0}^{3} f(-x) d x=\int_{0}^{3}\left(-4 a x^{3}-2 a x\right) d x=-81 a-9 b=3 \\ \int_{1}^{3} f(-3 x) d x=\int_{1}^{3}\left(4 a(-3 x)^{3}+2 a(-3 x)\right) d x=\left.\left(-3 x^{4}-3 x^{2}\right)\right|_{1} ^{3}=-240 a-24 b=9\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{24} \\ b=\frac{1}{24}\end{array}\right.\)

Suy ra \(f(x)=-\frac{1}{6} x^{3}+\frac{1}{12} x\)

Vậy \(\int_{0}^{9} f(x) d x=\int_{0}^{9}\left(-\frac{1}{6} x^{3}+\frac{1}{12} x\right) d x=-270\)

6. Lập kế hoạch học tập cùng Examon

Trong bài viết này của Examon, chúng ta đã có cơ hội tìm hiểu và khám phá về kỹ thuật chọn hàm trong bài toán tích phân cơ bản một cách chi tiết và sâu sắc. Qua các dạng toán cùng các bài tập minh họa, chúng ta đã nhận ra rằng việc lựa chọn hàm phù hợp không chỉ là vấn đề kỹ thuật mà còn là một kỹ năng mang tính chiến lược trong việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [CHỦ ĐỀ]

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK	Tiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP	7
Bài 1. Mệnh đề toán học	3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp	3
Bài tập cuối chương I	1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN	6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3
Bài tập cuối chương II	1

Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

*Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh*