Kiến thức tích phân tổng hợp

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). 

• Giả sử \(\mathrm{F}(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\). 

• Hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a ; b]\) ) của hàm số \(f(x)\), ki hiệu là \(\int_{a}^{b} f(x) d x\).

• Ta còn dùng ki hiệu \(\left.F(x)\right|_{a} ^{b}\) để chỉ hiệu số \(F(b)-F(a)\)

• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

\(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\)

Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

\(\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x\)

\(=-\int_{b}^{a} f(x) d x\)

• Tích phân của hàm số \(f\) từ \(a\) đến \(b\) có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hay \(\int_{a}^{b} f(t) d t\). 

• Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

• Tức là: \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(t) d t=\int_{a}^{b} f(u) d u\)

• Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

• Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\)ta quy ước:

\(\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x\)

\(=-\int_{b}^{a} f(x) d x\)

Tính các tích phân sau:

A. \(I=\int_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}\)

B. \(I=\int_{0}^{\ln 2} e^{x}\left(e^{x}-1\right)^{2} d x\)

C. \(I=\int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{x^{2}+1} d x\)

D. \(I=\int_{0}^{3} 3 x\left(x+\sqrt{x^{2}+16}\right) d x\)

Lời giải chi tiết:

a) \(I=\int_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}\)

\(=\int_{1}^{2} \frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt{x}) d x}{(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})}\)

\(=\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{x}}{3} d x\)

\(=\frac{1}{3} \int_{1}^{2}(x+3)^{\frac{1}{2}} d(x+3)\)

\(-\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{\frac{1}{2}} d x\)

\(=\left[\frac{2}{9} \sqrt{(x+3)^{3}}-\frac{2}{9} \sqrt{x^{3}}\right]_{1}^{2}\)

\(=\frac{2}{9}(5 \sqrt{5}-2 \sqrt{2}-7)\)

b) \(I=\int_{0}^{\ln 2} e^{x}\left(e^{x}-1\right)^{2} d x\)

\(=\int_{0}^{\ln 2}\left(e^{x}-1\right)^{2} d\left(e^{x}-1\right)\)

\(=\left.\frac{\left(e^{x}-1\right)^{3}}{3}\right|_{0} ^{\ln 2}=\frac{1}{3}\)

c) \(I=\int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{x^{2}+1} d x\)

\(=\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{3}}\left(x^{2}+1\right)^{\frac{1}{2}} d\left(x^{2}+1\right)\)

\(=\left.\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \sqrt{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\right|_{0} ^{\sqrt{3}}=\frac{7}{3}\)

d) \(I=\int_{0}^{3} 3 x\left(x+\sqrt{x^{2}+16}\right) d x\)

\(=\int_{0}^{3} 3 x^{2} d x+3 \int_{0}^{3} x \sqrt{x^{2}+16} d x\)

\(=\left.\left(x^{3}+\sqrt{\left(x^{2}+16\right)^{3}}\right)\right|_{0} ^{3}=88\).

Tích các tích phân sau:

A. \(I=\int_{0}^{1} x \sqrt{2-x^{2}} d x\)

B. \(I=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}+3 x+1}{x^{2}+x} d x\)

C. \(I=\int_{0}^{1}\left(x+e^{3 x-1}\right) d x\)

D. \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos x} d x\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(I=-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{2-x^{2}} d\left(2-x^{2}\right)\)

\(=-\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left(2-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} d\left(2-x^{2}\right)\)

\(=-\left.\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\left(2-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{1} \\\)

\(=-\left.\frac{1}{3} \sqrt{\left(2-x^{2}\right)^{3}}\right|_{0} ^{1}=\frac{2 \sqrt{2}-1}{3}\\)

b) \(I=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}+3 x+1}{x^{2}+x} d x\)

\(=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}+x}{x^{2}+x} d x+\int_{1}^{2} \frac{2 x+1}{x^{2}+x} d x\)

\(=\int_{1}^{2} d x+\int_{1}^{2} \frac{d\left(x^{2}+x\right)}{x^{2}+x} d x\)

\(=1+\left.\ln \left|x^{2}+x\right|\right|_{1} ^{2}=1+\ln \frac{5}{3}\)

c) \(I=\int_{0}^{1}\left(x+e^{3 x-1}\right) d x\)

\(=\left.\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{e^{3 x-1}}{3}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}+\frac{e^{2}}{3}-\frac{1}{3 e}\)

d) \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos x} d x\)

\(=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d(\cos x)}{1+\cos x}\) \(=-\rvert\, 1+\cos x \|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\ln 2\)