Học Nguyên hàm thông qua các bài tập cơ bản

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết sin3x là một nguyên hàm của hàm số f(x)\(e^{x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x)\(e^{x}\) là

A. \(3 \cos 3 x-\sin 3 x+C\).

B. \(-3 \cos 3 x-\cos 3 x+C\).

C. \(3 \sin 3 x-\cos 3 x+C\).

D. \(3 \cos 3 x-\cos 3 x+C\).

giải:

Ta có sin3x là một nguyên hàm của hàm số f(x).e^x 

->  f(x) . e^x = \((\sin 3 x)^{\prime}\) = 3cos3x

xét I = \(\int f^{\prime}(x) \cdot e^{x} d x\)

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{x} \\ \mathrm{~d} v=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=e^{x} \mathrm{~d} x \\ v=f(x)\end{array}\right.\right.\)

Khi đó ta có 

I = \(\int f^{\prime}(x) \cdot e^{x} \mathrm{~d} x=f(x) \cdot e^{x}-\int f(x) \cdot e^{x} \mathrm{~d} x=3 \cos 3 x-\sin 3 x+C\)

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết \(x^{2}-3 x+1\) là một nguyên hàm của hàm số  \(\frac{f(x)}{x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x).e^2x là

A. \(\frac{4 x-11 e^{2 x}}{2}+C\).

B. \(2 x-2 e^{2 x}+C\).

C. \(\frac{4 x-5 e^{x}}{2}+C\).

D. \(\frac{4 x-5 e^{2 x}}{2}+C\).

giải:

ta có \(x^{2}-3 x+1\) là một nguyên hàm của hàm số  \(\frac{f(x)}{x}\) 

=> \(\frac{f(x)}{x}=\left(x^{2}-3 x+1\right)^{\prime}=2 x-\frac{1}{3}\) 

=>  \(f(x)=2 x^{2}-3 x\) 

=> \(f^{\prime}(x)=4 x-3\). 

xét  \(I=\int(4 x-3) \cdot e^{2 x} \mathrm{~d} x\).

đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=4 x-3 \\ \mathrm{~d} v=e^{2 x} \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=4 \mathrm{~d} x \\ v=\frac{1}{2} e^{2 x}\end{array}\right.\right.\).

khi đó ta có 

\(I=\int(4 x-3) \cdot e^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{(4 x-3) \cdot e^{2 x}}{2}-2 \int e^{2 x} \mathrm{~d} x\)

\(=\frac{(4 x-3) \cdot e^{2 x}}{2}-e^{2 x}+C=\frac{4 x-5 e^{2 x}}{2}+C\).

Tìm  \(\int \sin 5 x \cdot \cos x \mathrm{~d} x\).

A. \(\frac{1}{5} \cos 5 x+C\).

B. \(-\frac{1}{8} \cos 4 x-\frac{1}{12} \cos 6 x+C\).

B. \(-\frac{1}{8} \cos 4 x-\frac{1}{12} \cos 6 x+C\).

D. \(\frac{1}{8} \cos 4 x+\frac{1}{12} \cos 6 x+C\).

giải:

ta có 

\(\int \sin 5 x \cdot \cos x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int(\sin 6 x+\sin 4 x) \mathrm{d} x\)

= \(\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 6 x}{6}-\frac{1}{4} \cos 4 x\right)+C=-\frac{1}{12} \cos 6 x-\frac{1}{8} \cos 4 x+C\).

Cho \(\int \frac{(x-1)^{2017}}{(x+1)^{2019}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \cdot \frac{(x-1)^{b}}{(x+1)^{c}}+C\) với a,b,c là các số nguyên. Gía trị a + b + c bằng?

A. 4.2018 .

B. 2.2018 .

C. 3.2018 .

D. 5.2018 .

giải:

\(I=\int \frac{(x-1)^{2017}}{(x+1)^{2019}} \mathrm{~d} x=\int\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2017} \cdot \frac{1}{(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x\). 

Đăt

 \(t=\frac{x-1}{x+1} \Rightarrow \mathrm{d} t=\frac{2}{(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x\).

khi đó

\(I=\int t^{2017} \frac{\mathrm{d} t}{2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2018}}{2018}+C=\frac{1}{2.2018} \cdot\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2018}+C\)

\(=\frac{1}{2.2018} \cdot\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2018}+C=\frac{1}{2.2018} \cdot \frac{(x-1)^{2018}}{(x+1)^{2018}}+C\).

suy ra

a=2.2018, b=2018, c=2018

nên

a+b+c=4.2018

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x-2}\), thỏa mãn \(F(3)=1\) và \(F(1)=2\), giá trị của \(F(0)+F(4)\) bằng

A. \(2 \ln 2+3\).

B. \(2 \ln 2+2\).

C. \(2 \ln 2+4\).

D. \(2 \ln 2\).

 giải

Hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{2\}\).

Ta có: \(F(x)=\int f(x) \mathrm{d} x=\int \frac{1}{x-2} \mathrm{~d} x=\left\{\begin{array}{ll}\ln (x-2)+C_{1} & \text { khi } x\gt 2 \\ \ln (2-x)+C_{2} & \text { khi } x\lt 2\end{array}\right.\)

Do \(\left\{\begin{array}{l}F(3)=1 \\ F(1)=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}C_{1}=1 \\ C_{2}=2\end{array}\right.\right.\). 

Khi đó \(F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln (x-2)+1 & \text { khi } x>2 \\ \ln (2-x)+2 & \text { khi } x\lt 2\end{array}\right.\).

Vậy \(F(0)+F(4)=(\ln 2+2)+(\ln 2+1)=2 \ln 2+3\).

- Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K

- Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) ký hiệu là \(\int f(x)=F(x)+C\).

chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

- Nếu f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì

\(\int[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int f(x) \mathrm{d} x \pm \int g(x) \mathrm{d} x\).

- \(\quad \int k f(x) \mathrm{d} x=k \int f(x) \mathrm{d} x\) (với k khác 0)

=> \(\int[k \cdot f(x)+l . g(x)] \mathrm{d} x=k \int f(x) \mathrm{d} x+l \int g(x) \mathrm{d} x\)

- \(\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)^{\prime}=f(x)+C\)

\(\int f[u(x)] u^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F[u(x)]+C\)

\(\int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u\)

- Tích của đa thức hoặc lũy thừa \(\xrightarrow{P P}\) khai triển.

- Tích các hàm mũ \(\xrightarrow{P P}\) khai triển theo công thức mũ .

- Bậc chẵn của sin hoặc \(\cos \xrightarrow{\mathrm{PP}}\) hạ bậc\(\sin ^{2} a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos 2 a ; \cos ^{2} a=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 a\)

- Chứa tích các căn thứ của \(x \xrightarrow{P P}\) chuyển về lũy thừa

- Nếu  \(\int f(x) d x=F(x)+C\) thì \(\int f[u(x)] u^{\prime}(x) d x=F[u(x)]+C\)

- Gỉa sử ta cần tìm họ nguyên hàm \(I=\int f(x) d x\), trong đó ta có thể phân tích hàm số đã cho:

 \(f(x)=g[u(x)] \cdot u^{\prime}(x)\) 

=> thì ta thực hiện phép đổi biến

đặt \(t=u(x) \Rightarrow d t=u^{\prime}(x) d x\). 

khi đó ta thấy

 \(I=\int g(t) d t=G(t)+C=G[u(x)]+C\).

chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo \(t\) thì ta phȧi thay \(t=u(x)\).

- Nếu bậc của tử số \(P(x) \geq\) bậc của mẫu số \(Q(x) \xrightarrow{P P}\) Chia đa thức.

- Nếu bậc của tử số \(P(x) \leq\) bậc của mẫu số \(Q(x) \xrightarrow{P P}\) phân tích mẫu \(Q(x)\) thành tích số, rồi sử dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số.

- Nếu mẫu không phân tích được thành tích số \(\xrightarrow{P P}\) thêm bớt để đồi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt \(\mathrm{X}=a \tan t\), nếu mẫu đưa được về dạng \(\mathrm{X}^{2}+a^{2}\).

- Cho hai hàm số u và v liên tụ trên \([a ; b]\) và có đạo hàm liên tục trên \([a ; b]\). 

=> khi đó ta có  \(\int u d v=u v-\int v d u\)

- Để tính nguyên hàm \(\int u d v=u v-\int v d u\) bằng phương pháp từng phần ta làm như sau

Bước 1: Chọn \(u, v\) sao cho \(f(x) d x=u d v\) 

(Chú ý: \(d v=v^{\prime}(x) d x\) và)

- Tính \(v=\int d v\) và \(d u=u^{\prime} d x\).

Bước 2: Thay vào công thức (*) và tính \(\int v d u\).

- Cần phải lựa chọn \(u\) và \(d v\) hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được \(v\) và tích phân \(\int v d u\) dễ tính hơn \(\int u d v\).

Mẹo nhớ: "Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ"