Hiểu bản chất nguyên hàm theo cách đơn giản nhất
Mục tiêu của tài liệu là mang đến cho người học một công cụ hữu ích, giúp học tự tin hơn khi giải quyết các bài toán liên quan đến nguyên hàm.
Mục lục bài viết
Nếu đạo hàm giúp chúng ta giải bài tập tìm ra tốc độ thay đổi của một hàm số, thì nguyên hàm giúp chúng ta tìm lại hàm số gốc từ đạo hàm của nó. Đó là một trong nhưng bản chất của " NGUYÊN HÀM" hãy cùng tìm hiểu sâu hơn để giải bài tập nhé.
1. Nguyên hàm là gì
Hàm F(x) là nguyên hàm f(x) trên tập hợp K nếu:
\(\frac{d}{d x}\)(F(x)) = f(x) với mọi x \(\in\) K
Các ví dụ giúp bạn dễ hình dung hơn:
\(\frac{d}{d x}\left(x^{3}\right)=3 x^{2}\)
\(\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{4}}{4}\right)=x^{3}\)
\(\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{5}}{5}\right)=x^{4}\)
Từ các ví dụ trên, ta suy ra được
- \(\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n}\)
- \(\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}+2\right)=x^{n}\) => \(\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C_{0}\right)=x^{n}\)
2. Họ nguyên hàm
2.1. Ví dụ minh họa
Bước 1: để tìm nguyên hàm của \(f(x)=x^{2}\), ta cần tìm một hàm F(x) sao cho \(F^{\prime}(x)=x^{2}\).
theo công thức nguyên hàm, ta có:
\[\int x^{2} d x=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^{3}}{3}+C\]vậy \(F(x)=\frac{x^{3}}{3}+C\) là một nguyên hàm của f(x) \(f(x)\).
Bước 2: xác định họ nguyên hàm của f(x) là tập hợp tất cả các hàm F(x) có dạng \(\frac{x^{3}}{3}+C\), trong đó C là hằng số tùy ý
Minh họa:
Tìm họ nguyên hàm của \(f(x)=\frac{1}{x}\).
Bước 1: Tìm nguyên hàm của \(f(x)\)
để tìm được nguyên hà mcuar \(f(x)=\frac{1}{x}\), ta sử dụng công thức:
\[\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\]vậy \(F(x)=\ln |x|+C\) là một nguyên hàm của \(f(x)\).
Bước 2: xác định họ nguyên hàm của \(f(x)=\frac{1}{x}\) là tập hợp tất cả các hàm \(F(x)=\ln |x|+C\), trong đó C là hằng số bất kì
2.2. Cách xác định một họ nguyên hàm
1. Xác định hàm cần tìm nguyên hàm: bắt đầu với hàm số f(x) mà bạn cần tìm nguyên hàm
2. Áp dụng công thức nguyên hàm: sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản hoặc các phương pháp khác nhau (như đổi biến, tích phân từng phần) để tìm một nguyên hàm cụ thể của f(x)
3. Thềm hằng số tùy ý C: sau khi tìm được nguyên hàm cụ thể, thêm hằng số tùy ý C để xác định toàn bộ họ nguyên hàm.
Hằng số C thể hiện sự dịch chuyển thẳng đứng của đồ thị hàm nguyên hàm
4. Kiểm tra kết quả: Xác nhận rằng đạo hàm của nguyên hàm vừa tìm được bằng hàm số ban đầu f(x)
2.3. Bài tập thực hành
để củng cố kiến thức, bạn có thể tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1. \(f(x)=e^{x}\)
2. \(f(x)=\cos x\)
3. \(f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\)
gợi ý:
1. họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=e^{x}\) là \(F(x)=e^{x}+C\).
2. họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\cos x\) là \(F(x)=\sin x+C\)
3. họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\) là \(F(x)=\arctan x+C\).
3. Sự liên hệ giữa nguyên hàm - tích phân
3.1. Công thức
từ 2 biểu thức:
\(\frac{d}{d x}\left(\int_{a}^{x} f(t) d t\right)\) = f(x)
\(\frac{d}{d x}\left(F(x)+C_{0}\right)\) = f(x)
ta suy ra
\(\int_{a}^{x} f(t) d t\) = F(x) + C
3.2. Ví dụ
Gỉa sử ta cần tính tích phân xác định của hàm số \(f(x)=2 x\) từ 1 đến 3
B1: Tìm nguyên hàm của f(x)
nguyên hàm cảu f(x)=2x là :
\(F(x)=x^{2}+C\).
B2: Áp dụng định lí cơ bản của giải tích
tính tích phân xác định
\[\int_{1}^{3} 2 x d x=F(3)-F(1)\]với \(F(x)=x^{2}\), ta có
\[\begin{array}{l}F(3)=3^{2}=9 \\F(1)=1^{2}=1\end{array}\]do đó
\(\int_{1}^{3} 2 x d x\) = 9-1= 8
4. Ứng dụng thực tế
Gia sửv(t), a(t) là vận tốc, gia tốc của vật M tại thời điểm t và s(t) là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động.
Ta có các mối liên hệ giữa s(tt, v(t) và a(t) như sau
- s'(t)=v(t)
- v'(t)=a(t)
Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc:
v(t) = \(\int a(t) d t\)
Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s(t)= \(\int v(t) d t\).
Từ đây ta có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t = [a ;b] là:
\(\int_{a}^{b} v(t) d t\) = s(b)-s(a)
5. Một số ứng dụng khác
- Tính diện tích dưới đường cong:
Tích phân xácđịnh được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong của một hàm số trong khoảng cách từ a -> b
- Tính công trong vật lý:
Trong vật lý, tích phân được dùng để tính công khi biết lực và khoảng cách
- Kinh tế và tài chính:
Tích phân được dùng để tính tổng chi phí, tổng doanh thu khi biết hàm số biểu diễn chi phí cận biên hoạch danh thu cận biên
Làm gì để giỏi toán hơn ?
Giỏi toán không chỉ yêu cầu sự thông minh mà còn đòi hỏi sự kiên trì, chăm chỉ và có cho mình một phương pháp phù hợp đúng đắn với bản thân. Dưới đây là sẽ là một số gợi ý giúp bạn cải thiện kỹ năng này:
- Hiểu bản chất vấn đề
Hiểu rõ các điều cơ bản: Đảm bảo bạn hiểu rõ các khái niệm cơ bản trước khi chuyển sang các vấn đề phức tạp hơn nhé.
Học theo chiều sâu: Thay vì học vẹt, hãy cô gắng hiểu rõ lý do và cách thức mà các công thức và quy tắc hoạt động.
2. Luyện tập thường xuyên
Làm bài tập đều đặn: Toán học đòi hỏi sự luyện tập thường xuyên, những cũng phải có ngắt quãng thời gian hợp lý nhé. hãy giải bài tập thật nhiều từ dễ đến nâng cao để rèn luyện kỹ năng.
Giải quyết nhiều loại bài toán khác nhau: Việc này giúp bạn làm quen với nhiều dạng bài tập và phương pháp giải khác nhau.
BỘ ĐỀ MỚI
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điểu này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
uyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề củaExamon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bưởc 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đẩu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một để thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bưởc 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát \(99.9 \%\) đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!