Giải phương trình bằng công thức biến đổi tổng thành tích

1. Kiến thức cần nhớ

Để giải bài tập dạng này, ta phải nắm vững các công thức lượng giác đã học, đặc biệt là công thức biến đổi tổng thành tích.

Công thức biến đổi tổng thành tích:

\(\left . \begin{matrix} ∙ \cos{u} + \cos{v} = 2 \cos{\left( \frac{u + v}{2} \right )} \cos{\left( \frac{u - v}{2} \right )} \\ ∙ \cos{u} - \cos{v} = - 2 \sin{\left( \frac{u + v}{2} \right )} \sin{\left( \frac{u - v}{2} \right )} \\ ∙ \sin{u} + \sin{v} = 2 \sin{\left( \frac{u + v}{2} \right )} \cos{\left( \frac{u - v}{2} \right )} \\ ∙ \sin{u} - \sin{v} = 2 \cos{\left( \frac{u + v}{2} \right )} \sin{\left( \frac{u - v}{2} \right )} \end{matrix} \right .\)

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Giải phương trình \(\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=1+\cos x+\cos 2 x\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=1+\cos x+\cos 2 x \\ (\sin x+\sin 3 x)+\sin 2 x=(1+\cos 2 x)+\cos x \\ 2 \sin 2 x \cos x+\sin 2 x=2 \cos ^{2} x+\cos x \\ \sin 2 x(2 \cos x+1)=\cos x(2 \cos x+1) \\ \cos x(2 \cos x+1)(2 \sin x-1)=0\end{array}\)

\(x \in\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi ; \pm \frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi ; \frac{\pi}{6}+2 \mathrm{k} \pi ; \frac{\pi}{6}+2 \mathrm{k} \pi\right\}\).

2.2 Ví dụ 2

Giải phương trình \(1+\cos x+\cos 2 x+\cos 3 x=0\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}1+\cos \mathrm{x}+\cos 2 \mathrm{x}+\cos 3 \mathrm{x}=0 \\ (1+\cos 3 \mathrm{x})+(\cos \mathrm{x}+\cos 2 \mathrm{x})=0 \\ 2 \cos \frac{3 x}{2} \cos \frac{x}{2}+2 \cos ^{2} \frac{3 x}{2}=0 \\ 2 \cos \frac{3 x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}+2 \cos \frac{3 x}{2}\right)=0 \\ 4 \cos \frac{3 x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2}=0 \\ x \in\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi ; \frac{\pi}{3}+\frac{2 \mathrm{k} \pi}{3}\right\} .\end{array}\)

2.3 Ví dụ 3

Giải phương trình \(\cos 10 x-\cos 8 x-\cos 6 x+1=0\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\cos 10 x-\cos 8 x-\cos 6 x+1=0 \\ (\cos 10 x-\cos 6 x)+(1-\cos 8 x)=0 \\ -2 \sin 8 x \cdot \sin 2 x+2 \sin ^{2} 4 x=0 \\ -2 \sin 4 x \cdot \cos 4 x \cdot \sin 2 x+4 \sin 4 x \cdot \sin 2 x \cdot \cos 2 x=0 \\ -4 \sin 4 x \cdot \sin 2 x(\cos 4 x-\cos 2 x)=0 \\ 8 \sin 4 x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x \cdot \sin x=0 \\ \Rightarrow x \in\left\{\frac{k \pi}{3} ; \frac{k \pi}{4}\right\}\end{array}\)

3. Bài tập vận dụng

Bài 1. Giải phương trình \(\sin \left(\frac{\pi}{6}-4 x\right)+\sin 3 x+\sin x=\frac{1}{2}\).

Bài 2. Giải phương trình \(\cos \left(\frac{\pi}{3}-2 x\right)+2 \cos x=-\frac{1}{2}\).

Bài 3. Giải phương trình \(2 \sin x+\cos 3 x+\sin 2 x=1+\sin 4 x\).

Bài 4. Giải phương trình \(\frac{1}{\cos x}+\sin x+\cos x=2+\tan x\).

Bài 5. Chứng minh rằng \(\sin 5 x-2 \sin x(\cos 4 x+\cos 2 x)=\sin x\).

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Bài viết này Examon đã tổng hợp đầy đủ ngắn gọn từ A đến Z cho các bạn học sinh dễ dàng tiếp cận. Hy vọng sau khi đọc song bài viết các bạn học sinh có thể nẵm vững các kiến thức và áp dụng vào các bài kiểm tra đạt kết quả tốt. Cùng Examon trên con đường tìm kiếm tri thức.

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.