Giải nguyên hàm từng phần nhanh và chính xác

Tìm nguyên hàm của hàm số logarit

Tính nguyên hàm của hàm số logarit 

\(I=\int f(x) \ln (a x+b) d x\)

Trong đó, f(x) là một hàm của đa thức 

Phương pháp giải:

b1: tiến hành đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\ln (a x+b) \\ d v=f(x) d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{a}{a x+b} d x \\ v=\int f(x) d x\end{array}\right.\right.\)

b2: sau khi đặt ở b1, ta có thể suy ra được

\(I=u v-\int v d u\)

ví dụ: tính nguyên hàm của f(x) = xlnx

giải:

F(x) = \(\int f(x) d x=\int x \cdot \ln x \cdot d x\)

tiến hành đặt biểu thức ở dạng

\(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=x d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d x}{x} \\ v=\frac{x^{2}}{2}\end{array}\right.\right.\)

theo phương pháp nguyên hàm từng phần sẽ có được

F(x) = \(\frac{1}{2} x^{2} \ln x-\frac{1}{2} \int x d x=\frac{1}{2} x^{2} \ln x-\frac{1}{4} x^{2}+C\)

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ:

\(A=\int f(x) \cdot e^{a x+b} d x\)

Trong đó, f(x) là một hàm đa thức

Phương pháp giải:

b1: tiến hành đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ d v=e^{a x+b} d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=\frac{1}{a} e^{a x+b} d x\end{array}\right.\right.\)

b2: sau khi đặt ở bước 1 ta có được

\(\int f(x) e^{a x+b} d x=u v-\int v d u\)

ví dụ: tính nguyên hàm của hàm số

\(I=\int x . e^{x} d x\)

giải:

đặt : 

\(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=e^{x} d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\right.\)

theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

\(\begin{aligned} I & =\int x e^{x} d x \\ & =x e^{x}-\int e^{x} d x \\ & =x e^{x}-\int d\left(e^{x}\right) \\ & =x e^{x}-e^{x}+C\end{aligned}\)

Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm đa thức

Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

A=\(\int f(x) \sin (a x+b) d x\)

hoặc

B=\(\int f(x) \cos (a x+b) d x\)

Phương pháp giải

b1: Các em tiến hành đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ d v=\sin (a x+b) d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)\end{array}\right.\right.\)

hoặc

\(\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ d v=\cos (a x+b) d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=\frac{1}{a} \sin (a x+b)\end{array}\right.\right.\)

b2: thực hiện biến đổi thành

\(\int f(x) \cos (a x+b) d x=u v-\int v d u\)

ví dụ: tính nguyên hàm của hàm lượng giác

dựa vào phương pháp giải ở trên, ta đặt

áp dụng công thức ta có

Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ

\(\int e^{a x+b} \sin (c x+d) d x\)

hoặc

\(\int e^{a x+b} \cos (c x+d) d x\)

Phương pháp giải

b1: các em tiến hành đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\sin (c x+d) \\ d v=e^{a x+b} d x\end{array}\right.\) Hoặc \(\left\{\begin{array}{l}u=\cos (c x+d) \\ d v=e^{a x+b} d x\end{array}\right.\)

b2: dựa vào công thức tổng quát uv-  \(\int v d u\) để tính nguyên hàm

Lưu ý: ở dạng tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ này thì các em nên lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1, ta cũng có thể đặt theo cách sau

\(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x+b} \\ d v=\sin (c x+d) d x\end{array}\right.\) Hoặc \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x+b} \\ d v=\cos (c x+d) d x\end{array}\right.\)

ví dụ

\(I=\int \sin x \cdot e^{x} d x\)

ta tiến hành đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\sin x \\ d v=e^{x} d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\cos x d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\right.\)

ta suy ra được

\(I=e^{x} \sin x-\int \cos x e^{x} d x=e^{x} \sin x-J\)

và

\(J=\int \cos x . e^{x} d x\)

để tính J, ta cần lấy nguyên hàm từng phần 2 lần nhưu sau

đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\cos x \\ d v=e^{x} d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=-\sin x d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\right.\)

ta có

\(\begin{array}{l}J=e^{x} \cos x+\int \sin x \cdot e^{x} d x \\ =e^{x} \cos x+I\end{array}\)

lúc này biểu thức nguyên hàm sẽ trở thành

vậy 

 \(I=\frac{1}{2}\left(e^{x} \sin x-e^{x} \cos x\right)+C\)

Tính nguyên hàm các hàm số sau

a. \(f(x)=\int x \sin x d x\)

b. \(f(x)=\int x e^{3 x} d x\)

c. \(f(x)=\int x^{2} \cos x d x\)

giải:

a. đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ \sin x d x=d v\end{array} \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=-\cos x\end{array}\right.\right.\)

=> f(x) = \(\int x \sin x d x=-x \cos x+\int \cos x d x=-x \cos x+\sin x+C\)

b. đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ e^{3 x} d x=d v\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=\frac{1}{3} e^{3 x}\end{array}\right.\right.\)

=> \(f(x)=\int x e^{3 x} d x=\frac{1}{3} x e^{3 x}-\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x\)

= \(\frac{1}{3} x e^{3 x}-\frac{1}{9} \int e^{3 x} d(3 x)\)

= \(\frac{1}{3} x e^{3 x}-\frac{1}{9} \int e^{3 x} d(3 x)\)

c. đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=x^{2} \\ \operatorname{cox} d x=d v\end{array} \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=2 x d x \\ v=\sin x\end{array}\right.\right.\)

=> f(x)=\(\int x^{2} \cos x d x=x^{2} \sin x-\int 2 x \sin x d x\)

\(x^{2} \sin x-2 \int x \sin x d x\)

đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ \sin x d x=d v\end{array} \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=-\cos x\end{array}\right.\right.\)

Tìm nguyên hàm của hàm số I=\(\sin x . e^{x} d x\)

đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\sin x \\ d v=e^{x} d x\end{array}\right.\)

=> \(\left\{\begin{array}{l}d u=\cos x d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\)

khi đó nguyên hàm I trở thành

\(\begin{array}{l}I=e^{x} \cdot \sin x-\int \cos x e^{x} d x \\ =e^{x} \sin x-J\end{array}\)

\(\begin{array}{l}J=\int \cos x e^{x} d x \\ =e^{x} \sin x-J\end{array}\)

đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\cos x \\ d v=e^{x} d x\end{array}\right.\)

=> \(\left\{\begin{array}{l}d u=-\sin x d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\)

\(\begin{array}{l}J=e^{x} \cos x+\int \sin x e^{x} d x \\ =e^{x} \cos x+I\end{array}\)

Tìm nguyên hàm D=\(\int x^{2} \ln x d x\)

giải:

đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ x^{2} d x=d v\end{array} \leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d x}{x} \\ v=\frac{x^{3}}{3}\end{array}\right.\right.\)

=> I=\(\int x^{2} \ln x d x=\frac{x^{3}}{3} \ln -\int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{d x}{x}=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x}{9}+C\)

Tính nguyên hàm \(\int(2-x) \cdot \sin x d x\)

giai:

đặt 

\(\left\{\begin{array}{l}u=2-x \\ d v=\sin x d x\end{array} \quad \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=-d x \\ v=-\cos x\end{array}\right.\right.\)

theo công thức tích phân từng phần

\(\begin{array}{l}\int(2-x) \cdot \sin x d x \\ =(2-x) \cdot(-\cos x)-\int \cos x d x \\ =(x-2) \cdot \cos x-\sin x+C\end{array}\)