Tìm cấp số nhân trong loạt dãy số
Nâng tầm tư duy, chinh phục đỉnh cao cùng Examon tìm cấp số nhân!
Mục lục bài viết
Chinh phục cấp số nhân: Bí kíp "bẻ khóa" dãy số bí ẩn!
Bạn có say mê những dãy số ẩn chứa quy luật chặt chẽ? Bạn có bao giờ thắc mắc về những dãy số có khả năng "tự nhân n lần" sau mỗi bước nhảy? Bạn có từng gặp những dãy số ẩn chứa quy luật kỳ diệu, nơi các số hạng liên tiếp "nhân" nhau theo một tỉ lệ bất biến? Đó chính là cấp số nhân - một chủ đề toán học đầy hấp dẫn và ứng dụng rộng rãi!
Trong toán học, dãy số đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các quy luật biến đổi. Một trong những loại dãy số đặc biệt thu hút sự chú ý là cấp số nhân, nơi các số hạng liên tiếp được liên kết bởi một tỷ lệ cố định. Hiểu rõ về bản chất và cách thức chứng minh một dãy số là cấp số nhân sẽ mở ra cánh cửa khám phá thế giới trật tự và ẩn chứa nhiều điều thú vị trong toán học.
Hôm nay, hãy cùng Examon "lặn sâu" khám phá bí quyết tìm cấp số nhân, mở ra cánh cửa chinh phục thế giới toán học đầy thú vị này!
1. Phương pháp
Xác định các thành phần cấu tạo nên một cấp số nhân như: số hạng đầu \(u_{1}\), công bội q sau đó suy ra được công thức cho số hạng tổng quát.
- Với \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\), số hạng đầu \(u_{1}\) , ta có
+ Công thức truy hồi: \(u_{n+1}=u_{n} q\) với \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
+ Số hạng tổng quát : \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với \(n \geq 2 \text {. }\)
+ \(u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1}\) với \(k \geq 2 \text {. }\)
2. Bài tập thực hành
2.1. Bài 1
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. \(1 ;-3 ; 9 ;-27 ; 54\).
B. \(1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16\).
C. \(1 ;-1 ; 1 ;-1 ; 1\).
D. \(1 ;-2 ; 4 ;-8 ; 16\).
Lời giải
Dãy \(1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16\) là cấp số nhân với công bội \(q=2\).
Dãy \(1 ;-1 ; 1 ;-1 ; 1\) là cấp số nhân với công bội \(q=-1\).
Dãy \(1 ;-2 ; 4 ;-8 ; 16\) là cấp số nhân với công bội \(q=-2\).
Dãy \(1 ;-3 ; 9 ;-27 ; 54\) không phải là cấp số nhân vì \(-3=1 \cdot(-3) ;(-27) \cdot(-3)=81 \neq 54\).
2.2. Bài 2
Trong các dãy số \(\left(u_{n}\right)\) sau, dãy nào là cấp số nhân?
A. \(u_{n}=n^{2}+n+1\).
B. \(u_{n}=(n+2) \cdot 3^{n}\).
C. \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=2 \\ u_{n+1}=\frac{6}{u_{n}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\end{array}\right.\)
D. \(u_{n}=(-4)^{2 n+1}\).
Lời giải
A. \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{n^{2}+3 n+3}{n^{2}+n+1}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\), không phải là hằng số. Vậy \(\left(u_{n}\right)\) không phải là cấp số nhân.
B. \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(n+3) \cdot 3^{n+1}}{(n+2) \cdot 3^{n}}=\frac{3(n+3)}{n+2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\), không phåi là hằng số. Vậy \(\left(u_{n}\right)\) không phải là cấp số nhân.
C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra \(u_{1}=2 ; u_{2}=3 ; u_{3}=2 ; u_{4}=3 ; \ldots\)Vì \(\frac{u_{3}}{u_{2}} \neq \frac{u_{2}}{u_{1}}\) nên \(\left(u_{n}\right)\) không phải là cấp số nhân.
D. \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(-4)^{2(n+1)+1}}{(-4)^{2 n+1}}=16, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\). Vậy \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân.
2.3. Bài 3
Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
A. \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+1, n \geq 1\end{array}\right.\).
B. \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=-1 \\ u_{n+1}=-3 u_{n}, n \geq 1\end{array}\right.\).
C. \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=-2 \\ u_{n+1}=2 u_{n}+3, n \geq 1\end{array}\right.\).
D. \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=\frac{\pi}{2} \\ u_{n}=\sin \left(\frac{\pi}{n-1}\right), n \geq 1\end{array}\right.\).
Lời giải
\(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow u_{n+1}=q u_{n} \longrightarrow\) Chọn B
3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
