Chứng minh tính chất của cấp số nhân
Chứng minh tính chất cấp số nhân: Nâng cao tư duy logic, giải toán hiệu quả với Examon.
Mục lục bài viết
Chìm đắm trong vũ điệu của những con số, khám phá vẻ đẹp tiềm ẩn của cấp số nhân với Examon.
Hỡi những trái tim đam mê toán học, hãy cùng nhau phiêu lưu vào thế giới kỳ diệu của cấp số nhân, nơi những con số nhảy múa theo quy luật chặt chẽ, tạo nên bản hòa ca hoàn hảo của logic và vẻ đẹp.
Cấp số nhân - tựa như bản tình ca du dương, ngân nga những giai điệu say đắm, ẩn chứa sức hút mãnh liệt khiến ta không thể cưỡng lại. Nào hãy cùng dạo bước trong khu vườn tri thức, khám phá những bí ẩn ẩn giấu trong từng nhịp điệu của cấp số nhân, để cảm nhận sự tinh tế và hoàn hảo của nó.
Hãy tưởng tượng một dãy số, nơi mỗi số hạng đều ôm ấp một mối liên hệ mật thiết với người hàng xóm của mình, cùng nhau tạo nên một chuỗi liên kết vô tận, đó là tính chất của chúng. Mỗi bước di chuyển, họ đều nhân đôi giá trị của bản thân, vẽ nên bức tranh diệu kỳ của sự tăng trưởng không ngừng.
Cùng nhau, ta sẽ khám phá những tính chất độc đáo của cấp số nhân, từ công bội - sợi dây kết nối các số hạng, đến tổng cấp số nhân - biểu tượng cho sức mạnh phi thường của sự nhân đôi.
Hành trình này hứa hẹn sẽ mang đến cho bạn những trải nghiệm đầy thú vị, khơi gợi niềm đam mê toán học và mở ra cánh cửa đến với những chân trời tri thức mới mẻ.
Hãy sẵn sàng để đắm chìm trong thế giới của cấp số nhân, nơi những con số không chỉ là những biểu tượng khô khan mà mà chúng mang tính chất tựa những giai điệu du dương, vẽ nên bức tranh muôn màu của trí tuệ và sáng tạo.
1. Phương pháp giải
- Sử dụng công thức tống quát của cấp số nhân, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
- Với \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\), số hạng đầu \(u_{1}\) , ta có
+ Công thức truy hồi: \(u_{n+1}=u_{n} q\) với \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
+ Số hạng tổng quát : \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với \(n \geq 2 \text {. }\)
+ \(u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1}\) với \(k \geq 2 \text {. }\)
- Sử dụng tính chất của cấp số nhân:
\(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\) theo thứ tự đó lập thành \(\mathrm{CSN} \Leftrightarrow \mathrm{ac}=\mathrm{b}^{2}\)
2. Bài tập minh hoạ
2.1. Bài 1
Chứng minh rằng : Nếu phương trình \(x^{3}-a x^{2}+\mathrm{bx}-\mathrm{c}=0\) có ba nghiệm lập thành \(\mathrm{CSN}\) thì \(\mathrm{c}\left(\mathrm{ca}^{3}-\mathrm{b}^{3}\right)=0\).
Lời giải
2. Giả sử ba nghiệm \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) lập thành CSN, suy ra \(x_{1} x_{3}=x_{2}^{2}\)
Theo phân tích bài trên, ta có: \(x_{1} x_{2} x_{3}=c \Rightarrow x_{2}^{3}=c \Rightarrow x_{2}=\sqrt[3]{c}\)
Hay phương trình đã cho có nghiệm \(x_{2}=\sqrt[3]{c}\), tức là:
\[(\sqrt[3]{c})^{3}-a(\sqrt[3]{c})^{2}+b \sqrt[3]{c}-c=0 \Leftrightarrow b \sqrt[3]{c}=a \sqrt[3]{c^{2}} \Leftrightarrow c\left(c a^{3}-b^{3}\right)=0\]Bài toán được chứng minh.
2.2. Bài 2
Chúng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành CSN thì công bội của CSN đó nằm trong khoảng \(\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2} ; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\).
Lời giải
Giả sử a, b,c là ba cạnh tam giác theo thứ tự đó lập thành CSN với công bội q .
Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}a+a q\gt a q^{2} \\ a q^{2}+a q>a\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}q^{2}-q-1\lt 0 \\ q^{2}+q-1>0\end{array}\right.\right.\)
\[\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}q \in\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} ; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \\q \in\left(-\infty ; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right) \cup\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2} ;+\infty\right)\end{array} \Leftrightarrow q \in\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2} ; \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right) .\right.\]2.3. Bài 3
Chứng minh rằng các số: \(2,3,5\) không thể cùng thuộc một CSN.
Lời giải
Giả sử \(2,3,5\) là ba số hạng thứ \(m, n, p\) của \(C S N\left(v_{n}\right)\) có công bội \(q\)
Ta có: \(\frac{2}{3}=\frac{u_{m}}{u_{n}}=q^{m-n} ; \frac{5}{3}=q^{p-n}\), suy ra \(\left(\frac{2}{3}\right)^{p-n}=\left(\frac{5}{3}\right)^{m-n}=p^{(p-n)(m-n)}\) \(\Rightarrow 2^{\mathrm{P}-\mathrm{n}} .3^{\mathrm{m}-\mathrm{P}} .5^{\mathrm{n}-\mathrm{m}}=1\) (vô lí).
3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
