Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Khuất Duyên

Bài viết Cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đạt ẩn phụ được Examon tổng hợp đầy đủ từ A đến Z. Hãy tham khảo ngay nào!

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Phương pháp giải
  • 2. Các cách đặt ẩn phụ
    • 2.1 Chọn góc để đặt ẩn phụ
    • 2.2 Chọn biểu thức lượng giác để đặt ẩn phụ
  • 3. Bài tập vận dụng
  • 4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Nếu bạn không biết hay chưa vững về cách làm bài tập về phương trình lượng giác thì sau Examon sẽ giới thiệu cho bạn một phương pháp giải phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ. Bài viết này bao gồm đầy đủ từ lý thuyết đến bài tập để cho các bạn dễ dàng tiếp cận kiến thức và ghi nhớ nhanh hơn. 

banner

1. Phương pháp giải

Để giải một phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta sử dụng 2 kỹ thuật đặt ẩn phụ thường gặp sau:
+ Chọn góc để đặt ẩn phụ, đưa phương trình lượng giác đã cho về một phương trình lượng giác đơn giản hơn.
+ Chọn biểu thức lượng giác để đặt ẩn phụ, đưa phương trình lượng giác đã cho về phương trình (hoặc hệ phương trình) đại số.

Ngoài ra còn phải biết các biến đổi linh hoạt các công thức lượng giác để đưa về dạng để áp dụng.

2. Các cách đặt ẩn phụ

2.1 Chọn góc để đặt ẩn phụ

Giải các phương trình lượng giác sau:

a. \(\sin \left(\frac{3 \pi}{10}-\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{10}+\frac{3 x}{2}\right)\).

b. \(\cos x-2 \sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=3\).

c. \(\sin \left(3 x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2 x \cdot \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\).

Lời giải

a. Nhận xét: Nhìn vào phương trình này ta nghĩ ngay đến việc dùng công thức biến đổi \(\sin\) của một tổng ... nhưng đừng vội làm như thế, ta xem mối quan hệ giữa hai cung \(\left(\frac{3 \pi}{10}-\frac{x}{2}\right)\) và \(\left(\frac{\pi}{10}+\frac{3 x}{2}\right)\) có quan hệ với nhau như thế nào?

Thật vậy, nếu ta đặt \(t=\frac{3 \pi}{10}-\frac{x}{2} \Rightarrow 3 t=\frac{9 \pi}{10}-\frac{3 x}{2}=\pi-\left(\frac{\pi}{10}+\frac{3 x}{2}\right)\) thì khi đó sử dụng công thức góc nhân ba là biến đổi dễ dàng.

\[\begin{array}{l}\text { Đặt } t=\frac{3 \pi}{10}-\frac{x}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{10}+\frac{3 x}{2}=\pi-3 t \\P T \Leftrightarrow \sin t=\frac{1}{2} \sin (\pi-3 t) \Leftrightarrow \sin t=\frac{1}{2} \sin 3 t \\\Leftrightarrow \sin t=\frac{1}{2}\left(3 \sin t-4 \sin ^{3} t\right) \Leftrightarrow \sin t\left(1-4 \sin ^{2} t\right)=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { t = k \pi } \\{ \operatorname { s i n } t = 0 } \\{ \operatorname { s i n } t = \frac { 1 } { 2 } }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\t=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi(k \in Z) \\t=\frac{7 \pi}{6}+k 2 \pi\end{array}\right.\right.\end{array}\]

Thay \(x=\frac{3 \pi}{5}-2 t\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm: 

\(x=\frac{3 \pi}{5}-k 2 \pi, x=\frac{4 \pi}{15}-k 4 \pi, x=\frac{-16 \pi}{15}-k 4 \pi\),

\(x=\frac{14 \pi}{15}-k 4 \pi, x=\frac{-26 \pi}{15}-k 4 \pi(k \in Z)\)

b. Đặt \(t=\frac{3 \pi}{2}-\frac{x}{2} \Rightarrow x=3 \pi-2 t\).

\[\begin{array}{l}P T \Leftrightarrow \cos (3 \pi-2 t)-2 \sin t=3 \Leftrightarrow-\cos 2 t-2 \sin t=3 \\\Leftrightarrow 2 \sin ^{2} t-1-2 \sin t=3 \Leftrightarrow \sin ^{2} t-\sin t-2=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sin t=-1 \\\sin t=2(\text { loa } i)\end{array} \Leftrightarrow t=\frac{-\pi}{2}+k 2 \pi(k \in Z) .\right.\end{array}\]

Thay \(x=3 \pi-2 t\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm:

 \(x=4 \pi+k 4 \pi(k \in Z)\), hay có thể viết gọn \(x=l 4 \pi(l \in Z)\).

c. Đặt \(t=x+\frac{\pi}{4} \Rightarrow x=t-\frac{\pi}{4} \Rightarrow 3 x-\frac{\pi}{4}=3 t-\pi\).

\[\begin{array}{l}P T \Leftrightarrow \sin (3 t-\pi)=\sin \left(2 t-\frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin t \Leftrightarrow-\sin 3 t=-\cos 2 t \cdot \sin t \\\Leftrightarrow \sin 3 t=\frac{1}{2} \sin 3 t+\frac{1}{2} \sin (-t) \Leftrightarrow \sin 3 t=\sin (-t) \\\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { 3 t = - t + k 2 \pi } \\{ 3 t = \pi + t + k 2 \pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=k \frac{\pi}{2} \\t=\frac{\pi}{2}+k \pi\end{array} \Leftrightarrow t=k \frac{\pi}{2}(k \in Z) .\right.\right.\end{array}\]

Thay \(x=t-\frac{\pi}{4}\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm: \(x=\frac{-\pi}{4}+k \frac{\pi}{2}(k \in Z)\).

2.2 Chọn biểu thức lượng giác để đặt ẩn phụ

Giải các phương trình lượng giác sau:

a. \(3 \sin x+4 \cos x+\frac{6}{3 \sin x+4 \cos x+1}=6\).

b. \(\sin x+\sqrt{3} \cos x+\sqrt{\sin x+\sqrt{3} \cos x}=2\).

c. \(\cos ^{2} x+\frac{1}{\cos ^{2} x}=\cos x+\frac{1}{\cos x}\).

d. \(2 \cos ^{2} 2 x+\cos 2 x=4 \sin ^{2} 2 x \cos ^{2} x\).

Lời giải

a. Nhận xét: Nhận thấy biểu thức \(3 \sin x+4 \cos x\) xuất hiện 2 lần, ta đặt \(t=3 \sin x+4 \cos x+1\) vừa giúp chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn \(t\), vừa làm gọn mẫu số.

Điều kiện: \(3 \sin x+4 \cos x+1 \neq 0\).

Đặt \(t=3 \sin x+4 \cos x+1(t \neq 0)\).\(P T \Leftrightarrow t-1+\frac{6}{t}=6 \Leftrightarrow t^{2}-7 t+6=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1 \\ t=6\end{array}\right.\)

+ Với \(t=1\), ta có: \(3 \sin x+4 \cos x=0 \Leftrightarrow \frac{3}{5} \sin x+\frac{4}{5} \cos x=0\).

Gọi \(\alpha\) là giá trị thỏa mãn: \(\left\{\begin{array}{l}\cos \alpha=\frac{3}{5} \\ \sin \alpha=\frac{4}{5}\end{array}\right.\)

\[\begin{array}{l}\frac{3}{5} \sin x+\frac{4}{5} \cos x=0 \Leftrightarrow \cos \alpha \cdot \sin x+\sin \alpha \cdot \cos x=0 \\\Leftrightarrow \sin (x+\alpha)=0 \Leftrightarrow x=-\alpha+k \pi(k \in Z) . \\\text { + Với } t=6 \text {, ta có: } 3 \sin x+4 \cos x=5 \Leftrightarrow \frac{3}{5} \sin x+\frac{4}{5} \cos x=1 \\\Leftrightarrow \cos \alpha \cdot \sin x+\sin \alpha \cdot \cos x=1 \Leftrightarrow \sin (x+\alpha)=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}-\alpha+k 2 \pi(k \in Z) .\end{array}\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: \(\left[\begin{array}{l}x=-\alpha+k \pi \\ x=\frac{\pi}{2}-\alpha+k 2 \pi\end{array} \quad(k \in Z)\right.\).

b. Điều kiện: \(\sin x+\sqrt{3} \cos x \geq 0\).

Đặt \(t=\sqrt{\sin x+\sqrt{3} \cos x}(t \geq 0)\).

\[P T \Leftrightarrow t^{2}+t=2 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1 \\t=-2(l o a i)\end{array}\right.\]

Với \(t=1\), ta có: \(\sin x+\sqrt{3} \cos x=1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x=\frac{1}{2}\)

\[\Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{-\pi}{6}+k 2 \pi \\x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}(k \in Z)\right. \text {. }\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{-\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}(k \in Z)\right.\).

c. Điều kiện: \(\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)\).

Đặt \(t=\cos x+\frac{1}{\cos x} \Rightarrow t^{2}=\cos ^{2} x+\frac{1}{\cos ^{2} x}+2\)

\(P T \Leftrightarrow t^{2}-2=t \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=-1 \\ t=2\end{array}\right.\)

+ Với \(t=-1\), ta có \(\cos x+\frac{1}{\cos x}=-1 \Leftrightarrow \cos ^{2} x+\cos x+1=0(P T V N)\).

+ Với \(t=2\), ta có: \(\cos x+\frac{1}{\cos x}=2 \Leftrightarrow \cos ^{2} x-2 \cos x+1=0 \Leftrightarrow \cos x=1 \Leftrightarrow x=k 2 \pi(k \in Z)\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: \(\Leftrightarrow x=k 2 \pi(k \in Z)\).

d. \(P T \Leftrightarrow 2 \cos ^{2} 2 x+\cos 2 x=2\left(1-\cos ^{2} 2 x\right)(1+\cos 2 x)\).

Đặt \(t=\cos 2 x,|t| \leq 1\).

\[\begin{array}{l}P T \Leftrightarrow 2 t^{2}+t=2\left(1-t^{2}\right)(1+t) \Leftrightarrow 2 t^{3}+4 t^{2}-t-2=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=-2(l o a i) \\t=\frac{\sqrt{2}}{2} \\t=\frac{-\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\end{array}\]

Thay \(t=\cos 2 x\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm: 

\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{8}+k \pi \\ x=\frac{-\pi}{8}+k \pi \\ x=\frac{3 \pi}{8}+k \pi \\ x=\frac{-3 \pi}{8}+k \pi\end{array}(k \in Z)\right.\).

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a. \(8 \cos ^{3}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 3 x\).

b. \(\tan ^{3}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\tan x-1\).

Câu 2. Giải phương trình lượng giác sau: 

a.\((\sin x+3) \sin ^{4} \frac{x}{2}-(\sin x+3) \sin ^{2} \frac{x}{2}+1=0\).

b.\(\frac{9}{81^{\sin ^{2} x}}+2(\cos 2 x-2) \frac{3}{9 \sin ^{2} x}+4 \cos ^{2} x-3=0\).

Examon.png
Luyện đề cấp tốc cùng Examon

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Trên đây là bài viết tổng hợp giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ, tuy nhiên để có thể giải được các bài tập chính xác, đòi hỏi các bạn học sinh phải thực hành làm bài tập nhiều hơn và có phương pháp học đúng đắn. Kết hợp với việc nắm vững các công thức, quy tắc và các dạng toán thì chắc chắn lượng giác sẽ không còn là nỗi sợ làm khó bạn. 

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!