Phương pháp giải bài tập nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi biến loại 1:

Cho hàm số \(\mathrm{u}=\mathrm{u}(\mathrm{x})\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathrm{K}, \mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{u})\) liên tục để \(\mathrm{f}[\mathrm{u}(\mathrm{x})]\) xác định trên \(\mathrm{K}\) và \(\mathrm{f}(\mathrm{u}) \mathrm{du}=\) \(F(u)+C\) thì: 

Cách giải:

Đầu tiên, chọn \(t=\varphi(x)\) và tính vi phân hai vế: \(d t=\varphi^{\prime}(t) d t\).

Sau đó, biến đổi biểu thức thành: \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\mathrm{f}[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\mathrm{g}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}\).

Kết quả: \(I=\int f(x) d x=\int g(t) d t=G(t)+C\).

Phương pháp đổi biến loại 2 : Khi đề bài cho hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\mathrm{K}\) và \(\mathrm{x}=\varphi(t)\) là một hàm số xác định, liên tục trên \(K\) và có đạo hàm là \(\varphi^{\prime}(t)\). Lúc này:

Cách giải:

Đầu tiên, chọn \(\mathrm{x}=\varphi(\mathrm{t})\) và lấy vi phân hai vế: \(\mathrm{dx}=\varphi^{\prime}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}\)

Thực hiện biến đổi: \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\mathrm{f}[\varphi(\mathrm{t})] \varphi^{\prime}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\mathrm{g}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}\).

Tính: \(\int f(x) d x=\int g(t) d t=G(t)+C\).

Phương pháp chung

Định lý: Nếu hai hàm số \(\mathrm{u}(\mathrm{x})\) và \(v(\mathrm{x})\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathrm{K}\) thì:

\(\int u(x) v^{\prime}(x) d x=u(x) v(x)-\int v(x) u^{\prime}(x) d x\)

hay \(\int u d v=u v-\int v d u\)

(với \(\left.d u=u^{\prime}(x) d x, d v=v^{\prime}(x) d x\right)\)

Cách giải: 

Trước hết, các em cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:

\(I=\int f(x) d x=\int f_{1}(x) f_{2}(x) d x\)

Tiếp theo, đặt:

\(\left\{\begin{array}{l}u=f_{1}(x) \\ d v=f_{2}(x)\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f_{1}^{\prime}(x) d x \\ v=\int f_{2}(x) d x\end{array}\right.\right.\)

Lúc này thì các em sẽ có: \(\int u d v=u v-\int v d u\)

Dạng 1: \(I=\int P(x)\left\{\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x \\ c^{x}\end{array}\right\} \cdot d x\)

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ d v=\left\{\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x \\ c^{z}\end{array}\right\} . d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}u^{\prime} \cdot d u=P^{\prime}(x) d x \\ v=\left\{\begin{array}{l}-\cos x \\ \sin x \\ c^{\infty}\end{array}\right\}\end{array}\right.\right.\)

Vậy: \(I=P(x)\left\{\begin{array}{l}-\cos x \\ \sin x \\ c^{x}\end{array}\right\}-\int\left\{\begin{array}{l}-\cos x \\ \sin x \\ c^{x}\end{array}\right\} \cdot P^{\prime}(x) d x\)

Dạng 2: \(I=\int P(x) \cdot \ln x d x\).

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=P(x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{1}{x} d x \\ v=\int P(x) d x=Q(x)\end{array}\right.\right.\)

Vậy \(I=\ln x \cdot Q(x)=\int Q(x) \cdot \frac{1}{x} d x\)

Dạng 3:

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{x} \\ d v=\left\{\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x\end{array}\right\} . d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=e^{x} d x \\ v=\left\{\begin{array}{l}-\cos x \\ \sin x\end{array}\right\}\end{array}\right.\right.\)

Vậy \(I=I=e^{x}\left\{\begin{array}{l}-\cos x \\ \sin x\end{array}\right\}-\int\left\{\begin{array}{l}-\cos x \\ \sin x\end{array}\right\} e^{x} d x\)