Thể tích hình nón: Công thức và ứng dụng thực tế
Hãy cùng Examon tìm hiểu và chinh phục thể tích hình nón nhé!
Mục lục bài viết
Trong chương trình toán hình của lớp 12, kiến thức về thể tích hình nón đóng vai trò hết sức quan trọng, nên các bài tập về hình nón cũng xuất hiện rất nhiều trong đề thi. Vậy nên, hãy cùng Examon mở màn bí mật và chinh phục các bài toán ứng dụng của thể tích hình nón nhé!
1. Định nghĩa hình nón:
Hình nón là một khối hình học không gian có một mặt đáy là hình tròn và một mặt bên là một mặt nón tròn xoay tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh một trong hai cạnh góc vuông của nó. Khối nón bao gồm tất cả các điểm nằm trên mặt nón và trong mặt nón, cũng như tất cả các điểm trên đường tròn đáy.
2. Thành phần cấu tạo của hình nón:
- Đỉnh nón: Là điểm cao nhất của hình nón, nơi mà tất cả các đường sinh hội tụ.
- Đường sinh: Là các đoạn thẳng nối từ đỉnh nón xuống đến mọi điểm trên chu vi của đáy nón.
- Đáy nón: Là phần đáy của nón, có hình dạng hình tròn.
- Chiều cao (h): Là khoảng cách từ đỉnh nón đến tâm của đáy nón, đo theo đường vuông góc với mặt đáy.
- Bán kính đáy (r): Là khoảng cách từ tâm của đáy nón đến bất kỳ điểm nào trên chu vi của đáy nón.
Mỗi thành phần này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hình dạng và kích thước của hình nón, cũng như trong việc tính toán thể tích và các đặc tính khác của nó.
Cụ thể, đỉnh nón là điểm quyết định chiều cao của nón, trong khi đó, đáy nón và bán kính đáy là yếu tố quyết định kích thước cơ bản của phần đáy nón. Đường sinh kết nối đỉnh và đáy, tạo nên bề mặt cong đặc trưng của khối nón.
3. Công thức tính thể tích khối nón:
- V: Thể tích của khối nón
- \(\pi\) : Hằng số \(\mathrm{Pi}\), xấp xỉ bằng 3.14
- r: Bán kính của đáy nón
- h: Đường cao của khối nón, khoảng cách từ đỉnh nón đến tâm của đáy nón
4. Bài tập ứng dụngthể tích hình nón:
4.1. Bài 1:
Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao \(\mathrm{X}\) cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính \(60 \mathrm{~cm}\) thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích \(V\) của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu lít?
Lời giải:
Đổi \(60 \mathrm{~cm}=6 \mathrm{dm}\).
Đường sinh của hình nón tạo thành là \(\ell=6 \mathrm{dm}\)
Chu vi đường tròn ban đầu là \(C=2 \pi R=12 \pi\)
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành.
Chu vi dường tròn đáy của hình nón tạo thành là
\(2 \pi r=\frac{2 \pi .6}{3}=4 \pi(\mathrm{dm}) \Rightarrow r=\frac{4 \pi}{2 \pi}=2(\mathrm{dm})\)
Đường cao của khối nón tạo thành là
\(h=\sqrt{\ell^{2}-r^{2}}=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=4 \sqrt{2}\)
Thể tích của mỗi phễu là
\(V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \pi 2^{2} \cdot 4 \sqrt{2}=\frac{16 \sqrt{2} \pi}{3}\left(d m^{3}\right)=\frac{16 \sqrt{2} \pi}{3}\) (lít).
4.2. Bài 2:
Cho một đồng hổ cát như hình bên dưới (gổm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kì của hình nón tạo tạo đáy một góc \(60^{\circ}\). Biết rằng chiều cao của đồng hồ là \(30 \mathrm{~cm}\) và tổng thể tích của đồng hồ là \(1000 \pi \mathrm{cm}^{3}\). Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phẩn bên trên thì khi chảy hết xuống dươii, tỉ số thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu?
Lời giải:
Gọi \(r_{1}, h_{1}, r_{2}, h_{2}\) lần lượt là bán kính, đường cao của hình nón trên và hình nón dưới.
Do đường sinh bất kì của hình nón tạo với đáy một góc \(60^{\circ}\).
Suy ra: \(\widehat{O A I^{\prime}}=\widehat{O B I}=60^{\circ}\), khi đó ta có mối liên hệ:
\(h_{1}=\sqrt{3} r_{1}, h_{2}=\sqrt{3} r_{2}\).
Theo đề ta có:
\(V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3} \pi\left(h_{1} r_{1}^{2}+h_{2} r_{2}^{2}\right)=\frac{1}{9} \pi\left(h_{1}^{3}+h_{2}^{3}\right)=1000 \pi\).
Mà \(h_{1}^{3}+h_{2}^{3}=\left(h_{1}+h_{2}\right)^{3}-3\left(h_{1}+h_{2}\right) . h_{1} h_{2} \Rightarrow h_{1} h_{2}=200\).
Kết hợp giả thiết: \(h_{1}+h_{2}=30\) ta được: \(\left\{\begin{array}{l}h_{1}=10 \\ h_{2}=20\end{array}\right.\).
Tử đó tỉ lệ cần tìm là \(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{(10 \sqrt{3})^{2} h_{1}}{(20 \sqrt{3})^{2} h_{2}}=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\).
5. Ứng dụng của hình nón trong thực tế:
5.1. Kiến trúc xây dựng:
Nhiều công trì̀nh kiến trúc sử dụng hình dạng nón cho mái vòm, tháp, và các cấu trúc khác, vừa mang tính thẩm mỹ vừa giúp tăng cường độ vững chãi của cấu trúc.
5.2. Kỹ thuật giao thông:
Các biển báo, hồng ngoại, và cả các dự án lớn như đường hầm gió sử dụng nguyên lý aerodynamic của khối nón để tối ưu hóa luồng không khí và giảm sức cản.
5.3. Thiết kế sản phẩm:
Thiết kế sản phẩm: Nhiều sản phẩm từ đồ dùng hàng ngày như loa, cốc, nón bảo hiểm đến các bộ phận máy móc như đầu đốt trong động cơ phản lực, đều tận dụng hình dạng khối nón để tối ưu hóa chức năng.
5.4. Khoa học
Trong khoa học, khối nón được sử dụng trong việc thiết kế các dụng cụ thí nghiệm như bình lọc và phễu lọc...
5.5. Công nghệ:
Trong công nghệ, nó giúp thiết kế các loại ăng-ten và phản xạ âm thanh.
6. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
