Đạo hàm lượng giác và bài tập liên quan

1. Lý thuyết và công thức đạo hàm

1.1 Lý thuyết

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a ; b)\) và \(x_{0} \in(a ; b)\).Nếu tồn tại giới hạn (hứu hạn)

\[\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\]

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_{0}\) và kí hiệu là \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\) (hoặc \(y^{\prime}\left(x_{0}\right)\) ), tức là

\[f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\]

Đại lượng \(\Delta x=x-x_{0}\) : gọi là số gia của biến số tại \(x_{0}\).

Đại lượng \(\Delta y=f(x)-f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\) : gọi là số gia của hàm số.

Các quy tắc cơ bản trong đạo hàm

Giả sử \(u=u(x), v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định.

Ta có:

1. \((k \cdot u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}\) \(k\) là hằng số;

2. \((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\) Đạo hàm của một tống;

3. \((u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\) Đạo hàm của một tích;

4. \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, v \neq 0\) Đạo hàm của một thương.

1.2 Công thức

Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp \(u=u(x)\)

1. \((C)^{\prime}=0, C\) là hằng số

2. \((x)^{\prime}=1\)

3. \(\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}\) \(\left(u^{a}\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{a-1} \cdot u^{\prime}\)

4. \(\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\) \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}\)

5. \((\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\)

6. \(\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\) \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\)

7. \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a ; a \in \mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\) \(\left(a^{a}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^{u} \cdot \ln a\)

8. \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\) \((\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\)

9. \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a}\) \(\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}\)

10. \((\sin x)^{\prime}=\cos x\) \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)

11. \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\) \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)

12. \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\) \((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u\right)\)

13. \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-1\left(1+\cot ^{2} u\right)\) \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^{2} u}=-u^{\prime}\left(1+\cot ^{2} u\right)\)

14. \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) \((\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

15. \((\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) \((\arccos u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

16. \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\) \((\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

17. \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}\) \((\operatorname{arccot} u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

2. Bài tập đạo hàm lượng giác

Câu 1 : Hàm số \(y=\sqrt{\cot 2 x}\) có đạo hàm là:

A. \(y^{\prime}=\frac{1+\tan ^{2} 2 x}{\sqrt{\cot 2 x}}\).

B. \(y^{\prime}=\frac{-\left(1+\tan ^{2} 2 x\right)}{\sqrt{\cot 2 x}}\).

C. \(y^{\prime}=\frac{1+\cot ^{2} 2 x}{\sqrt{\cot 2 x}}\).

D. \(y^{\prime}=\frac{-\left(1+\cot ^{2} 2 x\right)}{\sqrt{\cot 2 x}}\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(y^{\prime}=\frac{(\cot 2 x)^{\prime}}{2 \sqrt{\cot 2 x}}=\frac{-2\left(1+\cot ^{2} 2 x\right)}{2 \sqrt{\cot 2 x}}=\frac{-\left(1+\cot ^{2} 2 x\right)}{\sqrt{\cot 2 x}}\).

Chọn D.

Câu 2 : Đạo hàm của hàm số \(y=3 \sin 2 x+\cos 3 x\) là:

A. \(y^{\prime}=3 \cos 2 x-\sin 3 x\).

B. \(y^{\prime}=3 \cos 2 x+\sin 3 x\).

C. \(y^{\prime}=6 \cos 2 x-3 \sin 3 x\).

D. \(y^{\prime}=-6 \cos 2 x+3 \sin 3 x\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(y^{\prime}=3.2 \cos 2 x-3 \sin 3 x=6 \cos 2 x-3 \sin 3 x\).

Chọn C.

Câu 3: Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\) là:

A. \(y^{\prime}=\frac{-\sin 2 x}{(\sin x-\cos x)^{2}}\).

B. \(y^{\prime}=\frac{\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{(\sin x-\cos x)^{2}}\).

C. \(y^{\prime}=\frac{-2-2 \sin 2 x}{(\sin x-\cos x)^{2}}\).

D. \(y^{\prime}=\frac{-2}{(\sin x-\cos x)^{2}}\).

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có

\[\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{(\sin x+\cos x)^{\prime}(\sin x-\cos x)-(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos }{(\sin x-\cos x)^{2}}= \\=\frac{(\cos x-\sin x)(\sin x-\cos x)-(\sin x+\cos x)(\cos x+\sin x)}{(\sin x-\cos x)^{2}}= \\=\frac{-(\cos x-\sin x)^{2}-(\sin x+\cos x)^{2}}{(\sin x-\cos x)^{2}}=\frac{-2}{(\sin x-\cos x)^{2}} .\end{array}\]

Cách 2: Ta có \(y^{\prime}=\frac{1 \cdot(-1)-1.1}{(\sin x-\cos x)^{2}}=\frac{-2}{(\sin x-\cos x)^{2}}\).

Chọn D.

Câu 4 : Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm là:

A. \(y^{\prime}=-\tan x\).

B. \(y^{\prime}=-\frac{1}{\cos ^{2} x}\).

C. \(y^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}\).

D. \(y^{\prime}=1+\cot ^{2} x\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng bảng công thực đạo hàm.

Chọn C.

Câu 5: Hàm số \(y=x \tan 2 x\) có đạo hàm là:

A. \(\tan 2 x+\frac{2 x}{\cos ^{2} x}\).

B. \(\frac{2 x}{\cos ^{2} 2 x}\).

C. \(\tan 2 x+\frac{2 x}{\cos ^{2} 2 x}\).

D. \(\tan 2 x+\frac{x}{\cos ^{2} 2 x}\).

Hướng dẫn giải

\[y^{\prime}=x^{\prime} \tan 2 x+x(\tan 2 x)^{\prime}=\tan 2 x+x \frac{(2 x)^{\prime}}{\cos ^{2} 2 x}=\tan 2 x+x \cdot \frac{2}{\cos ^{2} 2 x} \text {. }\]

Chọn C.

Câu 6 : Hàm số \(y=\sin x\) có đạo hàm là:

A. \(y^{\prime}=-\sin x\).

B. \(y^{\prime}=\cos x\).

C. \(y^{\prime}=\frac{1}{\cos x}\).

D. \(y^{\prime}=-\cos x\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng bảng công thức đạo hàm.

Chọn B.

Câu 7: Cho hàm số \(y=f(x)=\frac{1}{\sqrt{\sin x}}\). Giá trị \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) là:

A.1.

B. \(\frac{1}{2}\).

C. 0 .

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải

\[\begin{array}{l}y^{\prime}=\left(\frac{1}{\sqrt{\sin x}}\right)^{\prime}=-\frac{(\sin x)^{\prime}}{(\sqrt{\sin x})^{2}}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\tan x \\\Rightarrow f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\tan \left(\frac{\pi}{2}\right)=0\end{array}\]

Chọn C.

Câu 8: Hàm số \(y=\sin \left(\frac{\pi}{6}-3 x\right)\) có đạo hàm là:

A. \(3 \cos \left(\frac{\pi}{6}-3 x\right)\).

B. \(-3 \cos \left(\frac{\pi}{6}-3 x\right)\).

C. \(\cos \left(\frac{\pi}{6}-3 x\right)\).

D. \(-3 \sin \left(\frac{\pi}{6}-3 x\right)\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm số hợp: \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)

Chọn B.

Câu 9 : Cho hàm số \(y=\sin \left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)\). Khi đó phương trình \(y^{\prime}=0\) có nghiệm là:

A. \(x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi\).

B. \(x=\frac{\pi}{3}-k \pi\).

C. \(x=-\frac{\pi}{3}+k 2 \pi\).

D. \(x=-\frac{\pi}{3}+k \pi\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y^{\prime}=-\frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right) \Rightarrow y^{\prime}=0 \Leftrightarrow-\frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)=0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k \pi\)

\[\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{3}-2 k \pi, k \in Z\]

Chọn C (vì \(x=-\frac{\pi}{3}-2 k \pi, k \in Z \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{3}+2 l \pi, l \in \mathbb{Z}\) )

Câu 10 : Đạo hàm của hàm số \(y=\sin ^{2} 2 x \cdot \cos x+\frac{2}{\sqrt{x}}\) là

A. \(y^{\prime}=2 \sin 2 x \cdot \cos x-\sin x \cdot \sin ^{2} 2 x-2 \sqrt{x}\).

B. \(y^{\prime}=2 \sin 2 x \cdot \cos x-\sin x \cdot \sin ^{2} 2 x-2 \sqrt{x}\).

C. \(y^{\prime}=2 \sin 4 x \cdot \cos x+\sin x \cdot \sin ^{2} 2 x-\frac{1}{x \sqrt{x}}\).

D. \(y^{\prime}=2 \sin 4 x \cdot \cos x-\sin x \cdot \sin ^{2} 2 x-\frac{1}{x \sqrt{x}}\).

Hướng dẫn giải

Ta có

\[y^{\prime}=2 \sin 2 x \cdot \cos 2 x \cdot \cos x+\sin ^{2} 2 x \cdot(-\sin x)-\frac{1}{x \sqrt{x}}=\sin 4 x \cdot \cos x-\sin ^{2} 2 x \cdot \sin x-\frac{1}{x \sqrt{x}}\]

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1 : Cho hàm số \(\mathrm{y}=\frac{-x^{2}+2 x-3}{x-2}\). Đạo hàm \(\mathrm{y}^{\prime}\) của hàm số là

A. \(-1-\frac{3}{(x-2)^{2}}\)

B. \(1+\frac{3}{(x-2)^{2}}\)

C. \(-1+\frac{3}{(x-2)^{2}}\)

D. \(1-\frac{3}{(x-2)^{2}}\)

Câu 2 : Cho hàm số \(\mathrm{y}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\). Đạo hàm \(\mathrm{y}^{3}\) của hàm số là

A. \(\frac{x}{\left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}\)

B. \(-\frac{x}{\left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}\)

C. \(\frac{x}{2\left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}\)

D. \(-\frac{x\left(x^{2}+1\right)}{\sqrt{x^{2}+1}}\)

Câu 3 : Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{x^{2}}\) bằng biểu thức nào sau đây?

A. \(\frac{-3}{x^{4}}+\frac{1}{x^{3}}\)

B. \(\frac{-3}{x^{4}}+\frac{2}{x^{3}}\)

C. \(\frac{-3}{x^{4}}-\frac{2}{x^{3}}\)

D. \(\frac{3}{x^{4}}-\frac{1}{x^{3}}\)

Câu 4 : Đạo hàm của hàm số \(y=-2 x^{7}+\sqrt{x}\) bằng biều thức nào sau đây?

A. \(-14 x^{6}+2 \sqrt{x}\)

B. \(-14 x^{6}+\frac{2}{\sqrt{x}}\)

C. \(-14 x^{6}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)

D. \(-14 x^{6}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Câu 5 Đạo hàm của hàm số \(y=x \cdot \sqrt{x^{2}-2 x}\) là:

A. \(y^{\prime}=\frac{2 x-2}{\sqrt{x^{2}-2 x}}\).

B. \(y^{\prime}=\frac{3 x^{2}-4 x}{\sqrt{x^{2}-2 x}}\).

C. \(y^{\prime}=\frac{2 x^{2}-3 x}{\sqrt{x^{2}-2 x}}\).

D. \(y^{\prime}=\frac{2 x^{2}-2 x-1}{\sqrt{x^{2}-2 x}}\).

Câu 6 : Cho hàm số \(f(x)=-2 x^{2}+3 x\). Hàm số có đạo hàm \(f^{\prime}(x)\) bằng:

A. \(4 x-3\)

B. \(-4 x+3\)

C. \(4 \mathrm{x}+3\)

D. \(-4 x-3\)

Câu 7 : Cho hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=x+1-\frac{2}{x-1}\). Xét hai câu sau:

(I) \(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\frac{x^{2}-2 x-1}{(x-1)^{2}}, \forall \mathrm{x} \neq 1\)

(II) \(f^{\prime}(x)\gt 0, \forall x \neq 1\)

Hãy chọn câu đúng:

A. Chi (I) đúng

B. Chi (II) đúng

C. Cả hai đều sai

D. Cà hai đều đúng

Câu 8 : Cho hàm số \(f(x)=2 x^{3}+1\). Giá trị \(f^{\prime}(-1)\) bằng:

A. 6

B. 3

C. -2

D. -6

Câu 9 : Cho hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. \(f^{\prime}(x)=-a\)

B. \(f^{\prime}(x)=-b\)

C. \(f^{\prime}(x)=a\)

D. \(f^{\prime}(x)=b\)

Câu 10 Đạo hàm của hàm số \(\mathrm{y}=10\) là:

A. 10

B. -10

C. 0

D. \(10 x\)

Câu 11 : Cho hàm số \(f(x)=2 m x-m x^{3}\). Số \(x=1\) là nghiệm của bất phương trình \(f^{\prime}(x) \leq 1\) khi và chi khi:

A. \(m \geq 1\)

B. \(m \leq-1\)

C. \(-1 \leq m \leq 1\)

D. \(m \geq-1\)

Câu 12 : Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^{2}}\) tại điểm \(x=0\) là kết quả nào sau đây?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Không tồn tại

4. Phương pháp học hiệu quả cùng Examon

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [ĐẠO HÀM ]

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK	Tiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP	7
Bài 1. Mệnh đề toán học	3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp	3
Bài tập cuối chương I	1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN	6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3
Bài tập cuối chương II	1

Phân phối chương trình SGK Toán 10 KNTT

Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

*Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh*