Tìm hiểu tích phân hàm ẩn

Nếu \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) thi

Nếu \([f(x) \cdot g(x)]^{\prime}=h(x)\) thì \(f(x) \cdot g(x)=\int h(x) d x\).

QUY TẮC ĐẠO HÀM THƯƠNG

Nếu  \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) thì \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}\) với \(v \neq 0\).

- Nếu \(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=h(x)\) thì \(\frac{f(x)}{g(x)}=\int h(x) d x\).

Hệ quả: Nếu \(u=u(x)\) thì \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{u^{2}}\) với \(u \neq 0\).

- Nếu \(\left(\frac{1}{f(x)}\right)^{\prime}=g(x)\) thi \(\frac{1}{f(x)}=\int g(x) d x\)

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN

Nếu \(u=u(x)\) thì \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\) với \(u\gt 0\)

- Nếu \([\sqrt{f(x)}]=h(x)\) thì \(\sqrt{f(x)}=\int h(x) d x\).

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ

Nếu \(u=u(x)\) thi \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\);

Nếu \(\left(e^{f(x)}\right)^{\prime}=g(x)\) thì \(e^{f(x)}=\int g(x) d x\).

CÔNG THỨC ĐẠO HẢM CỦA HÀM LÔGARIT

Nếu \(u=u(x)\) nhận già trị dương trên \(K\) thì \([\ln u]^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\) trên \(K\)

Nếu \([\ln (f(x))]^{\prime}=g(x)\) thì \(\ln (f(x))=\int g(x) d x\).

DẠNG 1:

Cho \(\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) \cdot f[u(x)] \cdot d x\), tính \(\int_{a}^{b} f(x) \cdot d x\). Hoặc cho \(\int_{a}^{b} f(x) \cdot d x\), tính \(\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) \cdot f[u(x)] \cdot d x\). Đối vởi loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến \(t=u(x)\) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số.

DẠNG 2:

Tính \(\int_{a}^{b} f(x) d x\), biết hàm số \(f(x)\) thỏa mãn: A. \(f(x)+\) B.u' \(f(u)+C \cdot f(a+b-x)=\) \(g(x)\).

Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :

+ Trong để bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số \(A, B, C\).+ Nếu \(f(x)\) liên tục trên \([a ; b]\) thì \(\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x\)

+ Với \(\left\{\begin{array}{l}u(a)=a \\ u(b)=b\end{array}\right.\) thì \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{1}{A+B+C} \int_{a}^{b} g(x) d x\).

+ Với \(\left\{\begin{array}{l}u(a)=b \\ u(b)=a\end{array}\right.\) thì \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{1}{A-B+C} \int_{a}^{b} g(x) d x\).

+ Học sinh có thế nhớ công thửc hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như đạng 1.

DẠNG 3:

Phương pháp:

Lần lượt đặt \(t=u(x)\) và \(t=v(x)\) để giài hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn \(f(x)\) ) để suy ra hàm số \(f(x)\) (nếu \(u(x)=x\) thì chì cần đặt một lần \(t=v(x)\) ).

Các kết quả đặc biệt:

Cho \(A \cdot f(a x+b)+B \cdot f(-a x+c)=g(x)\) vởi \(\left.A^{2} \neq B^{2}\right)\) khi đó \(f(x)=\frac{A \cdot g\left(\frac{x-b}{a}\right)-B \cdot g\left(\frac{x-c}{-a}\right)}{A^{2}-B^{2}}\left({ }^{*}\right)\)

+ Hệ quả 1 của \(\left({ }^{*}\right)\) : \(A \cdot f(x)+B \cdot f(-x)=g(x) \Rightarrow f(x)=\frac{A g(x)-B g(-x)}{A^{2}-\bar{B}^{2}}\)

+ Hệ quả 2 của (*):

A. \(f(x)+B \cdot f(-x)=g(x) \Rightarrow f(x)=\frac{g(x)}{A+B}\) với \(g(x)\) là hàm số chẵn.

DẠNG 4:

Bài toán: "Cho \(f(x) \cdot f(a+b-x)=k^{2}\), khi đó \(I=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k+f(x)}=\frac{b-a}{2 k}\)

Chứng minh:

Khi đó \(I=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k+f(x)}=\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{k+\frac{k^{2}}{f(t)}}=\frac{1}{k} \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{f}(x) \mathrm{d} x}{k+f(x)}\).

DẠNG 5: 

Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \(g[f(x)]=x\) và \(g(t)\) là hàm đơn điệu. Hãy tính tích phân \(I=\int_{a}^{b} f(x) d x\).

Tích phân tù̀ng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau:

TRƯỜNG HỢP RIÊNG:

Khi đề bài cho biết giá trị \(f(a), f(b), \int_{a}^{b} u(x) \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=h, \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=k\)  (với \(u(x)\) là một biểu thức chứa \(x\) đã tường minh), đề tìm \(f(x)\) trước tiền ta đi tìm 2 số \(\alpha, \beta\) sao cho \(\int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)+\alpha \cdot u(x)+\beta\right]^{2} \mathrm{~d} x=0\), rồi suy ra \(f^{\prime}(x)=-\alpha \cdot u(x)-\beta\), sau đó nguyên hàm hai vế để tìm \(f(x)\).

Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức:

\(f^{\prime}(x)+p(x) \cdot f(x)=h(x)\)