Tìm hiểu về bảng nguyên hàm
Với mục tiêu giúp người học tự tin trong việc làm bài tập đến Nguyên hàm, tài liệu này được thiết kế để phù hợp với nhiều đối tượng
Mục lục bài viết
Bảng sau đây sẽ liệt kê một số nguyên hàm cơ bản và dạng bài tập thường gặp, giúp người học có thể tra cứu và áp dụng nhanh chóng trong quá trình giải bài tập. Hy vọng những tài liệu về kiến thức nguyên hàm được tổng hợp lại sau đây sẽ có ích cho bạn.
1. Bảng nguyên hàm tổng hợp
| Hàm sơ cấp | Hàm số hợp u=u(x) |
| \(\int \mathrm{d} x=x+C\) | \(\int \mathrm{d} u=u+C\). |
| \(\int x^{\alpha} \mathrm{d} x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\) | \(\int u^{\alpha} \mathrm{d} u=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\) |
| \(\int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C \quad(x \neq 0)\) | \(\int \frac{\mathrm{d} u}{u}=\ln |u|+C \quad(u(x) \neq 0)\) |
| \(\int \cos x d x=\sin x+C\) | \(\int \cos u \mathrm{~d} u=\sin u+C\) |
| \(\int \sin x d x=-\cos x+C\) | \(\int \sin u \mathrm{~d} u=-\cos u+C\) |
\(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\) với \(x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\) | \(\int \frac{1}{\cos ^{2} u} \mathrm{~d} u=\tan u+C\) với \(u(x)=\frac{\pi}{2}+k \pi\) |
\(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C\). với \(x \neq k \pi\) | 7) \(\int \frac{1}{\sin ^{2} u} \mathrm{~d} u=-\cot u+C\) với \(u(x) \neq k \pi\) |
| \(\int e^{x} \mathrm{~d} x=e^{x}+C\) | \(\int e^{u} \mathrm{~d} u=e^{u}+C\) |
2. Bảng nguyên hàm thường gặp
Thường gặp |
| \(\int(a x+b)^{\alpha} \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{\alpha+1}(a x+b)^{\alpha+1}+C\) |
| \(\int \frac{\mathrm{d} x}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C(a \neq 0)\) |
| \(\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C\) |
| \(\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C\) |
| \(\int \frac{d x}{\cos ^{2}(a x+b)}=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\) |
| \(\int \frac{d x}{\sin ^{2}(a x+b)}=\frac{-1}{a} \cot (a x+b)+C\) |
| \(\int e^{a x+b} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} e^{a x+b}+C\) |
| \(\int a^{p \pi+q} \mathrm{~d} x=\frac{1}{p \cdot \ln a} a^{p x+q}+C(0\lt a \neq 1)\) |
| Vi phân \(d(a x+b)=\frac{1}{a} d x\) |
3. Hai định lí nguyên hàm
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mọi C thuộc R hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K
- Ngược lại, nếu như F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho F(x) = G(x) + C
*Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) ký hiệu là \(\int\)f(x)=F(x)+C
4. Hệ thống bài tập
Bài 1
tính nguyên hàm của
\[\int\left(3 x^{2}+2 x-5\right) d x\]hướng dẫn
để tính nguyên hàm của hàm số này, ta sử dụng quy tắc tích phân
\(\int\left(3 x^{2}+2 x-5\right) d x=\frac{3}{3} x^{3}+\frac{2}{2} x^{2}-5 x+C\)
\(=x^{3}+x^{2}-5 x+C\)
Bài 2
tính nguyên hàm của hàm số sau
\[\int\left(4 e^{x}-2 \sin (x)+7\right) d x\]hướng dẫn
sử dụng quy tắc tích phân
\(\int\left(4 e^{x}-2 \sin (x)+7\right) d x=4 \int e^{x} d x-2 \int \sin (x) d x+7 \int d x\)
\(=4 e^{x}+2 \cos (x)+7 x+C\)
Bài 3
Tính nguyên hàm của hàm số sau:
\[\int\left(2 x \cos \left(x^{2}\right)-\frac{1}{x}\right) d x\]hướng dẫn
sử dụng quy tắc tích phân và phương trình khác
\[\int\left(2 x \cos \left(x^{2}\right)-\frac{1}{x}\right) d x=\int 2 x \cos \left(x^{2}\right) d x-\int \frac{1}{x} d x\]để tích phân \(\int 2 x \cos \left(x^{2}\right) d x\), ta thực hiện phép thay thế như sau
\[u=x^{2}, \frac{d u}{d x}=2 x, d x=\frac{1}{2 x} d u\]\(\int \cos (u) \frac{1}{2 x} d u=\frac{1}{2} \int \cos (u) d u\)
= \(\frac{1}{2} \sin (u)+C=\frac{1}{2} \sin \left(x^{2}\right)+C\)
để tích phân \(\int \frac{1}{x} d x\), chúng ta biết rằng đây là tích phân của lnx
\[\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\]do đó
\[\int\left(2 x \cos \left(x^{2}\right)-\frac{1}{x}\right) d x=\frac{1}{2} \sin \left(x^{2}\right)-\ln |x|+C\]
Bài 4
tính nguyên hàm của hàm
\[\int\left(2 \sqrt{x}+\frac{3}{x^{2}}-\sin (2 x)\right) d x\]hướng dẫn
sử dụng quy tắc tích phân và công thức nguyên hàm cho bài toán này
\(\int\left(2 \sqrt{x}+\frac{3}{x^{2}}-\sin (2 x)\right) d x=\int 2 \sqrt{x} d x+\int \frac{3}{x^{2}} d x-\int \sin (2 x) d x\)
\(=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}-3 \frac{1}{x}+\frac{1}{2} \cos (2 x)+C\)
Bài 5
tìm nguyên hàm của
\[\int\left(4 x^{3}+5 x^{2}-2 \cos (x)+\frac{4}{x}\right) d x\]hướng dẫn
sử dụng công thức nguyên hàm và quy tắc tích phân
\(\int\left(4 x^{3}+5 x^{2}-2 \cos (x)+\frac{4}{x}\right) d x\)
= \(\int 4 x^{3} d x+\int 5 x^{2} d x-\int 2 \cos (x) d x+\int \frac{4}{x} d x\)
= \(x^{4}+\frac{5}{3} x^{3}-2 \sin (x)+4 \ln |x|+C\)
Bài 6
tính nguyên hàm
\[\int\left(e^{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-\tan (x)\right) d x\]hướng dẫn
sử dụng quy tắc tích phân, công thức nguyên hàm
\(\int\left(e^{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-\tan (x)\right) d x\)
= \(\int e^{x} d x+\int x^{-\frac{1}{2}} d x-\int \tan (x) d x\)
\(=e^{x}+2 \sqrt{x}-\ln |\cos (x)|+C\)
Bài 7
tìm nguyên hàm của
\[\int \frac{x^{3}+1}{x^{2}+x} d x\]hướng dẫn:
\[\frac{x^{3}+1}{x^{2}+x}=x-1+\frac{1}{x+1}\]tính từng phần
\[\int\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right) d x=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln |x+1|+C\]
Bài 8
tính nguyên hàm của hàm số
\[\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} d x\]hướng dẫn
Để tính nguyên hàm của hàm số này, chúng ta có thể thực hiện phép thay thế
\(u=1+x^{2}, \frac{d u}{d x}=2 x, d x=\frac{1}{2 x} d u\)
\(\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot x d x\)
=\(\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{u}} d u\)
=\(\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} d u\)
=\(u^{\frac{1}{2}}+C\)
=\(\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}+C\)
Bài 9
tính nguyên hàm
\[\int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x\]hướng dẫn
thực hiện phép thay thế để tính nguyên hàm này
\[\begin{array}{l}u=e^{x}+1, d u=e^{x} d x \\\int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x=\int \frac{1}{u} d u=\ln \left|e^{x}+1\right|+C\end{array}\]
Bài 10
tính nguyên hàm của hàm số
\[\int\left(4 x^{3}+2 x^{2}-5 x+3\right) d x\]hướng dẫn
ta sử dụng quy tắc nguyên hàm
\(\int\left(4 x^{3}+2 x^{2}-5 x+3\right) d x\)
= \(x^{4}+\frac{2}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+3 x+C\)
Bài 11
Tính nguyên hàm của hàm số sau:
\[\int\left(e^{x}-\sin (x)+\frac{1}{x}\right) d x\]Lời giải:Sử dụng quy tắc nguyên hàm:
\[\int\left(e^{x}-\sin (x)+\frac{1}{x}\right) d x=e^{x}+\cos (x)+\ln |x|+C\]
Bài 12
tìm nguyên hàm của
\[\int \frac{x^{3}+x^{2}-x+1}{x} d x\]hướng dẫn
\[\frac{x^{3}+x^{2}-x+1}{x}=x^{2}+2 x-1+\frac{1}{x}\]sử dụng quy tắc nguyên hàm
\[\int\left(x^{2}+2 x-1+\frac{1}{x}\right) d x=\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}-x+\ln |x|+C\]Bài 13
tìm nguyên hàm
\[\int \frac{x^{2}-1}{x^{3}-x} d x\]hướng dẫn
\[\frac{x^{2}-1}{x^{3}-x}=\frac{1}{x}\]dùng quy tắc nguyên hàm
\[\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\]
5. Bạn đang gặp khó khăn khi học bảng nguyên hàm?
Không vấn đề gì cả, việc học nguyên hàm có thể khá phức tạp ban đầu, nhưng nếu bạn tiếp tục luyện tập và hiểu rõ các nguyên lí cơ bản, bạn sẽ cảm thấy thoải mái hơn.
Dưới đây là một số gọi ý để giúp bạn vượt qua khí khăn khi học nguyên hàm:
1. Hiểu rõ các quy tắc cơ bản: bắt đầu từ việc hiểu rõ các quy tắc cơ bản của nguyên hàm như quy tắc tổng hợp, quy tắc hợp và quy tắc tích
2. Luyện tập thường xuyên: thực hành là chìa khóa để nắm vững kiến thức Hãy giải nhiều bài tập khác nhau để nắm vựng các kỹ thuật tính nguyên hàm
3. Sử dụng các phương tiện hỗ trợ: tài liệu giảng dạy, sách giáo trình, video giảng dạy và các trang web giáo dục có thể cung cấp giải thích chi tiết và ví dụ minh họa
4.Tìm kiếm sự giúp đỡ nếu cần: nếu bạn gặp khó khăn, đừng ngần ngại hỏi giáo viên hoặc bạn bè hoặc tham gia các diễn đàn trực tuyến để nhận sự giúp đỡ từ cộng đồng
5. Thử sức với các bài tập khó hơn dần: khi bạn cảm thấy tự tin hơn, hãy thử giải các bài tập khó hơn để thách thức bản thân và củng cố kiến thức
6. Đừng nản chí: đôi khi việc hiểu và thực hiện các bài tập về nguyên hàm có thể mất thời gian. hãy kiên nhẫn và không tử bỏ
7. Họ từ các ví dụ cụ thể: đôi khi hiểu các bài toán thông qua ví dụ có thể giúp bạn nắm vững kiến thức hơn
Giải và luyện đề cùng EXAMON
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất.
Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình.
Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề củaExamon:
- B 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sắn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- B 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- B 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- B 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- B 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát \(99.9 \%\) đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!