Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

1. Định nghĩa

Nguyên hàm từng phần là một phương pháp toán học quan trọng giúp giải quyết các bài toán tích phân phức tạp. Phương pháp này dựa trên quy tắc ngược lại với quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số, cho phép tính nguyên hàm của tích các hàm số.

Công thức chính của nguyên hàm từng phần là: \(\int u d v=u v-\int v d u\).

2. Phương pháp

Cho hai hàm số \(u\) và \(\mathrm{v}\) liên tục trên \([\mathrm{a} ; \mathrm{b}]\) và có đạo hàm liên tục trên \([\mathrm{a} ; \mathrm{b}]\). Khi đó :

\[\int u d v=u v-\int v d u(*)\]

Để tính tích phân \(\mathrm{I}=\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

Buớc 1: Chọn u1,v sao cho \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\mathrm{udv}\) (chú ý: \(\mathrm{dv}=\mathrm{v}^{\prime}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) ).

Tính \(v=\int d v\) và \(d u=u\) u'. \(d x\).

Buớc 2: Thay vào công thức (*) và tính \(\int\) vdu.

Cần phải lựa chọn \(u\) và \(d v\) hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được \(v\) và tích phân \(\int\) vdu dễ tính hơn \(\int u d v\)

3. Các dạng thường gặp

3.1. Dạng 1

Dang \(1: \mathrm{I}=\int \mathrm{P}(\mathrm{x})\left[\begin{array}{l}\sin \mathrm{x} \\ \cos \mathrm{x}\end{array}\right] \mathrm{dx}\), trong đó \(\mathrm{P}(\mathrm{x})\) là đa thức Vói dạng này, ta đặt \(u=P(x), d v=\left[\begin{array}{c}\sin x \\ \cos x\end{array}\right] d x\).

3.2. Dạng 2

Dang \(2: \mathrm{I}=\int(\mathrm{x}) \mathrm{e}^{\mathrm{ax}+\mathrm{b}} \mathrm{dx}\)Với dạng này, ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\mathrm{P}(\mathrm{x}) \\ \mathrm{dv}=\mathrm{e}^{\mathrm{ax}+\mathrm{b}} \mathrm{dx}\end{array}\right.\), trong đó \(\mathrm{P}(\mathrm{x})\) là đa thức

3.3. Dạng 3

Dang 3: \(\mathrm{I}=\int \mathrm{P}(\mathrm{x}) \ln (\mathrm{mx}+\mathrm{n}) \mathrm{dx}\)

Với dạng này, ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln (m x+n) \\ d v=P(x) d x\end{array}\right.\)

3.4. Dạng 4

\(I=\int\left[\begin{array}{c}\sin x \\ \cos x\end{array}\right] e^{x} d x\)

Theo quy tắc ta đặt \(\left\{\begin{array}{c}u=\left[\begin{array}{c}\sin x \\ \cos x\end{array}\right] \text {. } \\ d v=e^{x} d x\end{array}\right.\)

4. Ví dụ minh họa

4.1. Ví dụ 1

Tim nguyên hàm: \(\mathrm{I}=\int \sin 2 x \cdot e^{3 \mathrm{x}} \mathrm{dx}\)

Lời giải:

Ta có : \(\sin 2 x \cdot e^{3 x}=\frac{1}{3}\left[\sin 2 x\left(e^{3 x}\right)^{\prime}+(\sin 2 x)^{\prime} \cdot e^{3 x}\right]-\frac{2}{3} \cos 2 x e^{3 x}\)

\[\begin{array}{l}-\frac{1}{3}\left(\sin 2 x \cdot e^{3 x}\right)^{\prime}-\frac{2}{9}\left[\cos 2 x \cdot\left(e^{3 x}\right)^{\prime}+(\cos 2 x)^{\prime} e^{3 x}\right]-\frac{4}{9} \sin 2 x \cdot e^{3 x} \\\Rightarrow \frac{13}{9} \sin 2 x \cdot e^{3 x}-\frac{1}{3}\left(\sin 2 x \cdot e^{3 x}\right)^{\prime}-\frac{2}{9}\left(\cos 2 x \cdot e^{3 x}\right)^{\prime}-\left(\frac{1}{3} \sin 2 x \cdot e^{3 x}-\frac{2}{9} \cos 2 x e^{3 x}\right)\end{array}\]

Suy ra:

\(\sin 2 x e^{3 x} d x=\left(\frac{3}{13} \sin 2 x e^{3 x}-\frac{2}{13} \cos 2 x e^{3 x}\right)\).

\[I=\frac{1}{13} e^{3 x}(3 \sin 2 x-2 \cos 2 x)+C\]

4.2. Ví dụ 2

Ví dụ minh họa:

\(I=\int e^{x} \sin x d x\)

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{x} \\ d v=\sin x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=e^{x} d x \\ v=-\cos x\end{array}\right.\right.\)

\(\Rightarrow I=-e^{x} \cos x+\int \cos x \cdot e^{x} d x\)

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=e^{x} \\ d v_{1}=\cos x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u_{1}=e^{x} d x \\ v_{1}=\sin x\end{array}\right.\right.\)

\(\Rightarrow I=-e^{x} \cos x+e^{x} \sin x-\int \sin x \cdot e^{x} d x\)

\(=-e^{x} \cos x+e^{x} \sin x+C-I\)

\(\Rightarrow I=-e^{x} \cos x+e^{x} \sin x+C-I\)

\(\Leftrightarrow 2 I=-e^{x} \cos x+e^{x} \sin x+C\)

\(\Leftrightarrow I=-\frac{1}{2} e^{x} \cos x+\frac{1}{2} e^{x} \sin x+C\)

5. Cùng Examon chinh phục sự thành công

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!