Ứng dụng tích phân tính diện tích mặt phẳng và thể tích

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) (liên tục); \(x=a ; x=b\) và \(\mathbf{y}=\mathbf{0}\) (trục hoành) được tính bởi: \(\mathrm{S}=\int_{a}^{b}|f(x)| d x\) (1).

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{y}=\) \(\mathbf{g}(\mathbf{x})\) (liên tục); \(\mathbf{x}=\mathbf{a}\); \(\mathbf{x}=\mathbf{b}\) được tính bởi: \(\mathbf{S}=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)| d x\) (2).

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bời đồ thị các hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-1 ; \mathrm{y}=\) \(0 ; x=0 ; x=2\)

Lời giải:

Gọi \(\mathrm{S}\) là diện tích cần tính, áp dụng công thức \(\mathrm{S}=\int_{a}^{b}|f(x)| d x\) thì \(\mathrm{S}=\int_{0}^{2}\left|x^{2}-1\right| d x\)

Phương trình: \(\mathrm{x}^{2}-1=0 \Leftrightarrow \mathrm{x}= \pm 1\), nghiệm \(\mathrm{x}=1 \in[0 ; 2]\)

 Vậy 

\(\mathrm{S}=\left|\int_{0}^{1}\left(x^{2}-1\right) d x\right|+\left|\int_{1}^{2}\left(x^{2}-1\right) d x\right|=\left|\left(\frac{x^{3}}{3}-x\right)\right|_{0}^{1}+\left|\left(\frac{x^{3}}{3}-x\right)\right|_{1}^{2}=2\) (đvdt)

Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}) ; \mathrm{x}=\mathrm{a} ; \mathrm{x}=\mathrm{b}\); \(\mathrm{y}=0 \)

Khi xoay quanh trục \(\mathrm{Ox}\) được tính bởi: \(\mathbf{V}=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(x) d x\) (3)

a) Cho hình phẳng giới hạn bời các đường \(\mathrm{y}=2 \mathrm{x}-\mathrm{x}^{2}\) và \(\mathrm{y}=0\). Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục \(\mathrm{Ox}\).

b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\mathrm{y}=-\mathrm{x}^{2}\) và \(\mathrm{y}=\mathrm{x}^{3}\). Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bời hình phẳng đó khi nó quay quanh trục \(\mathrm{Ox}\).

Lời giải:

a)

Phương trình \(2 \mathrm{x}-\mathrm{x}^{2}=0 \Leftrightarrow \mathrm{x}=0\) và \(\mathrm{x}=2\)

Gọi \(\mathrm{V}\) là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: \(\mathbf{V}=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(x) d x\)

Ta có \(\mathrm{V}=\pi \int_{0}^{2}\left(2 x-x^{2}\right)^{2} d x=\pi \int_{0}^{0}\left(4 x^{2}-4 x^{3}+x^{4}\right) d x=\left.\pi\left(\frac{4}{3} x^{3}-x^{4}+\frac{x^{5}}{5}\right)\right|_{0} ^{2}=\frac{16 \pi}{15}\) (đvtt)

b)

Phương trình \(-x^{2}=x^{3} \Leftrightarrow x=0\) và \(x=-1\)

Gọi \(\mathrm{V}_{1}\) là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\mathrm{y}=-\mathrm{x}^{2}, \mathrm{x}=0, \mathrm{x}=-1\) và trục \(\mathrm{Ox}\) khi hình phẳng đó quay quanh \(\mathrm{Ox}\) :

Có \(\mathrm{V}_{1}=\pi \int_{-1}^{0}\left(-x^{2}\right)^{2} d x=\frac{1}{5} \pi\)

Gọi \(\mathrm{V}_{2}\) là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\mathrm{y}=\mathrm{x}^{3}, \mathrm{x}=0, \mathrm{x}=-1\) và trục \(\mathrm{Ox} \ldots\) 

Có \(\mathrm{V}_{2}=\pi \int_{-1}^{0}\left(x^{3}\right)^{2} d x=\frac{1}{7} \pi\)

Vậy thể tích \(\mathrm{V}\) cần tính là: \(\mathrm{V}=\left|V_{1}-V_{2}\right|=\frac{2}{35} \pi\) (đvtt)