Tích phân hàm phân thức hữu tỷ
Cùng Examon tìm hiểu và chinh phục tích phân hàm phân thức hữu tỷ nhé!
Mục lục bài viết
Trong chương trình toán 12, kiến thức tích phân của hàm phân thức hữu tỷ đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Trong những năm gần đây, tích phân của hàm phân thức hữu tỷ xuất hiện rất nhiều trong các đề thi THPT QG, trở thành thử thách rất lớn đối với các bạn học sinh lớp 12. Vậy nên, đừng chần chừ gì nữa, mà hãy cùng với Examon tìm hiểu và chinh phục tích phân của hàm phân thức hữu tỷ nhé!
1. Định nghĩa
Phân thức hữu tỉ: \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) với \(P(x), Q(x)\) là các đa thức với các hệ số thực
Phân thức thực sự: là phân thức hữu ti \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) với \(\operatorname{deg} P(x)\lt \operatorname{deg} Q(x)\)
Phân thức đơn giản: Là các phân thức có 1 trong 4 dạng sau:
\(\frac{A}{x-a} ; \frac{A}{(x-a)^{k}} ; \frac{B x+C}{x^{2}+p x+q} ; \frac{B x+C}{\left(x^{2}+p x+q\right)^{k}}\left(\Delta=p^{2}-4 q\lt 0 ; k \in N\right)\)
2. Các dạng thường gặp
2.1. Dạng 1
Dạng 1:
\(Q(x)=\left(x-a_{i}\right) \ldots\left(x-a_{i-1}\right)\left(x-a_{i}\right)\left(x-a_{i+1}\right) \ldots\left(x-a_{n}\right)\)
Ví dụ minh họa:
\(I_{1}=\int \frac{2 x^{2}-5 x-3}{x^{3}+x^{2}-2 x} d x\)
Lời giải:
Phương pháp hệ số bất định:
\(Q(x)=x^{3}+x^{2}-2 x=x(x-1)(x+2)\)
Giả sử \(\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{2 x^{2}-5 x-3}{x^{3}+x^{2}-2 x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}, \forall x\)
\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow 2 x^{2}-5 x-3=A(x-1)(x+2)+B x(x+2)+C x(x-1), \forall x\left(^{*}\right) \\\Leftrightarrow 2 x^{2}-5 x-3=(A+B+C) x^{2}+(A+2 B-C) x-2 A, \forall x \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { 2 A = 3 } \\{ A + 2 B - C = - 5 } \\{ A + B + C = 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { A = 3 / 2 } \\{ 2 B - C = - 1 3 / 2 \Leftrightarrow } \\{ B + C = 1 / 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}A=3 / 2 \\B=-2 \\C=5 / 2\end{array}\right.\right.\right.\end{array}\]\(\begin{aligned} I_{1} & =\int \frac{2 x^{2}-5 x-3}{x^{3}+x^{2}-2 x} d x=\frac{3}{2} \int \frac{d x}{x}-2 \int \frac{d x}{x-1}+\frac{5}{2} \int \frac{d x}{x+2} \\ & =\frac{3}{2} \ln |x|-2 \ln |x-1|+\frac{5}{2} \ln |x-2|+c\end{aligned}\)
2.2. Dạng 2
Dạng 2:
\(\mathrm{Q}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}_{1}\right) \ldots\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}_{\mathrm{i-1}}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}_{\mathrm{i}}\right)^{k}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}_{\mathrm{i}+1}\right) \ldots\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}_{n}\right)\)
Ví dụ minh họa:
\(J_{2}=\int_{-1}^{0} \frac{(4 x+4) d x}{\left(x^{2}-4 x+3\right)^{2}}\)
Lời giải:
\[Q(x)=\left(x^{2}-4 x+3\right)^{2}=(x-1)^{2}(x-3)^{2}\]Giả sử
\(\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{4 x+4}{\left(x^{2}-4 x+3\right)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{x-3}+\frac{D}{(x-3)^{2}}, \forall x\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 4 x+4=(A+C) x^{3}+(-7 A+B-5 C+D) x^{2}+ \\ \quad+(15 A-6 B+7 C-2 D) x+(-9 A+9 B-3 C+D), \forall x(*) \\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A+C=0 \\ -7 A+B-5 C+D=0 \\ 15 A-6 B+7 C-2 D=4 \\ -9 A+9 B-3 C+D=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A=3 \\ B=2 \\ C=-3 \\ D=4\end{array}\right.\right.\end{array}\)
\(\begin{aligned} J_{2} & =\int_{-1}^{0} \frac{4 x+4}{\left(x^{2}-4 x+3\right)^{2}}=\int_{-1}^{0}\left[\frac{3}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}-\frac{3}{x-3}+\frac{4}{(x-3)^{2}}\right] d x \\ & =\left.\left(3 \ln |x-1|-\frac{2}{x-1}-3 \ln |x-3|-\frac{4}{x-3}\right)\right|_{-1} ^{0}=\frac{4}{3}+3 \ln \frac{2}{3}\end{aligned}\)
2.3. Dạng 3
Dạng 3:
\(Q(x)=\left(x-a_{l}\right) \ldots\left(x-a_{i-1}\right)\left(x^{2}+p x+q\right) \ldots\left(x-a_{n}\right) ;\left(p^{2}-4 q\lt 0\right)\)
Ví dụ minh họa:
\(L_{z}=\int \frac{\left(x^{2}+1\right) d x}{x^{4}+x^{2}+1}\)
Lời giải:
\(\begin{array}{l}Q(x)=x^{4}+x^{2}+1=\left(x^{2}+1\right)^{2}-x^{2}=\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right) \\ \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1}=\frac{A x+B}{x^{2}+x+1}+\frac{C x+D}{x^{2}-x+1}, \forall x\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow x^{2}+1=(A x+B)\left(x^{2}-x+1\right)+(C x+D)\left(x^{2}+x+1\right), \forall x \\ \Leftrightarrow x^{2}+1=(A+C) x^{3}+(-A+B+C+D) x^{2}+(A-B+C+D) x+B+D, \forall x \\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A+C=0 \\ A+B+C+D=1 \\ A-B+C+D=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A+C=0 \\ C+D=1 / 2 \\ D-B=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A=C=0 \\ B=D=\frac{1}{2}\end{array}\right.\right.\right.\end{array}\)
\(\begin{aligned} L_{1} & \left.=\int \frac{\left(x^{2}+1\right) d x}{x^{4}+x^{2}+1}=\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{x^{2}-x+1}\right) d x \\ & =\frac{1}{2}\left(\int \frac{d\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}+\int \frac{d\left(x-\frac{1}{2}\right)}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right) \\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\operatorname{arctg} \frac{2 x+1}{\sqrt{3}}+\operatorname{arctg} \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}\right)+c\end{aligned}\)
2.4. Dạng 4
Dạng 4:
\(Q(x)=\left(x-a_{l}\right) \ldots\left(x-a_{i-1}\right)\left(x^{2}+p x+q\right)^{k} \ldots\left(x-a_{n}\right) ;\left(p^{2}-4 q\lt 0\right)\)
Ví dụ minh họa:
\(L_{3}=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}+4 x^{3}+7 x^{2}+6 x+2}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}} d x\)
Lời giải:
Ta có: \(\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{x^{4}+4 x^{3}+8 x^{2}+4 x+3}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}}=1-\frac{4 x+1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}}\)
\[\begin{aligned}\Rightarrow L_{3} & =\int_{0}^{1} \frac{x^{4}+4 x^{3}+8 x^{2}+4 x+23}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}} d x=\int_{0}^{1}\left[1-\frac{4 x+1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}}\right] d x \\& =\int_{0}^{1} d x-\int_{0}^{1} \frac{4(x+1)-3}{\left[(x+1)^{2}+1\right]^{2}} d x=\left.x\right|_{0} ^{1}-4 \int_{1}^{2} \frac{t d t}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}+3 \int_{1}^{2} \frac{d t}{\left(t^{2}+1\right)^{2}} \\& =1-2 \int_{1}^{2} \frac{d\left(t^{2}+1\right)}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}+3 \int_{1}^{2} \frac{d t}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}=1+\left.\frac{2}{t^{2}+1}\right|_{1} ^{2}+3 \int_{1}^{2} \frac{d t}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}=\frac{2}{5}+3 \int_{1}^{2} \frac{d t}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}\end{aligned}\]Ví dụ minh họa (dạng 4)
\[\begin{aligned}\Rightarrow \mathrm{M} & =\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}^{2}+1\right)^{2}}=\int_{\pi / 4}^{\operatorname{arctg} 2} \frac{\mathrm{d} \alpha / \cos ^{2} \alpha}{\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+1\right)^{2}}=\int_{\pi / 4}^{\operatorname{arctg2}} \frac{\mathrm{d} \alpha / \cos ^{2} \alpha}{\left(\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}\right)^{2}} \\& =\int_{\pi / 4}^{\operatorname{arctg} 2} \cos ^{2} \alpha \mathrm{d} \alpha=\frac{1}{2} \int_{\pi / 4}^{\operatorname{arct2} 2}(1+\cos 2 \alpha) \mathrm{d} \alpha=\left.\frac{1}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \sin 2 \alpha\right)\right|_{\pi / 4} ^{\operatorname{arctg} 2} \\& =\frac{1}{2}\left(\operatorname{arctg} 2+\frac{\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 2)}{1+\operatorname{tg}^{2}(\operatorname{arctg} 2)}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\operatorname{arctg} 2-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{10}\right) \\\Rightarrow \mathrm{L}_{3} & =\frac{2}{5}+3 \mathrm{M}=\frac{2}{5}+\frac{3}{2}\left(\operatorname{arctg} 2-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{10}\right)=\frac{3}{2}\left(\operatorname{arctg} 2-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{6}\right)\end{aligned}\]
3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
