Nguyên hàm hàm số cơ bản - lý thuyết & bài tập
Các bài tập và lý thuyết cơ bản sẽ là cách để bạn nhập môn vào chủ để nguyên hàm thường gặp trong các dạng đề thi hiện nay.
Mục lục bài viết
Dành cho những bạn nào mới bước vào học về Nguyên hàm hàm số, hay thậm chí là các bạn đã học qua nguyên hàm hàm số nhữnhưng vẫn còn mơ hồ chưa thực sự hiểu rõ và không thể học được các dạng cao hơn chỉ vì không nắm vững lý thuyết.
1. Kiến thức cơ bản cần nắm
1.1. Tính chất
- \(\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)^{\prime}=f(x) \mathrm{v} \quad \int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)+C\).
- \(\int k \cdot f(x) \mathrm{d} x=k \cdot \int f(x) \mathrm{d} x\) v i \(k \neq 0\)
- \(\int[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int f(x) \mathrm{d} x \pm \int g(x) \mathrm{d} x\)
1.2. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn, hay nửa khoảng).
Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K
Ký hiệu: \(\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C\).
2. Các nguyên hàm cơ bản
\(\int 0 \mathrm{~d} x=C\)
\(\int \mathrm{d} x=x+C\)
\(\int x^{\wedge} \mathrm{d} x=\frac{1}{n+1} x^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\)
\(\int(a x+b)^{x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \frac{(a x+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,(\alpha \neq-1)\)
\(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\)
\(\int \frac{\mathrm{d} x}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C\)
\(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)
\(\int e^{2 x+b} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} e^{2 x+b}+C\)
\(\int a^{x} \mathrm{~d} x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\)
\(\int a^{b x+b} \mathrm{~d} x=\frac{1}{k} \frac{a^{k x+b}}{\ln a}+C\)
\(\int \cos x d x=\sin x+C\)
\(\int \cos (a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C\)
\(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=\tan x+C\)
\(\int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\)
\(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C\)
\(\int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C\)
\(\int\left(1+\tan ^{2} x\right) \mathrm{d} x=\tan x+C\)
\(\int\left(1+\tan ^{2}(a x+b)\right) d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\)
\(\int\left(1+\cot ^{2} x\right) \mathrm{d} x=-\cot x+C\)
\(\int\left(1+\cot ^{2}(a x+b)\right) \mathrm{d} x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C\)
3. Các nguyên hàm rộng mở
\(\int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C\)
\(\int \arcsin \left(\frac{x}{a}\right) \mathrm{d} x=x \arcsin \frac{x}{a}+\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C\)
\(\int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C\)
\(\int \arccos \left(\frac{x}{a}\right) \mathrm{d} x=x \arccos \frac{x}{a}-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C\)
\(\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+C\)
\(\int \arctan \left(\frac{x}{a}\right) \mathrm{d} x=x \arctan \frac{x}{a}-\frac{a}{2} \ln \left(a^{2}+x^{2}\right)+C\)
\(\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{|a|}+C\)
\(\int \operatorname{arccot}\left(\frac{x}{a}\right) \mathrm{d} x=x \operatorname{arccot} \frac{x}{a}+\frac{a}{2} \ln \left(a^{2}+x^{2}\right)+C\)
\(\int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a} \arccos \left|\frac{x}{a}\right|+C\)
\(\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\tan \frac{a x+b}{2}\right|+C\)
\(\int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}+a^{2}}}=-\frac{1}{a} \ln \left|\frac{a+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{x}\right|+C\)
\(\int e^{a x} \cos (b x) \mathrm{d} x=\frac{e^{2 x}(a \cos b x+b \sin b x)}{a^{2}+b^{2}}+C\)
\(\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+C\)
\(\int e^{a x} \sin (b x) d x=\frac{e^{a x}(a \sin b x-b \cos b x)}{a^{2}+b^{2}}+C\)
4. Vài bài tập cơ bản
4.1. B1
Hàm số F(x) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f(x)=\(x^{2}\)
A. \(F(x)=2 \cdot \frac{x^{3}}{3}\)
B. \(F(x)=\frac{x^{3}}{3}+2\).
C. \(F(x)=\frac{x^{3}}{2}+2\).
D. \(F(x)=x^{3}\)
đáp án
chọn A
Vì \(\left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{2}=x^{2}\) nên \(\int x^{2} \mathrm{~d} x=\frac{x^{3}}{3}+C\)
4.2. B2
Nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/x là ?
A. \(-\ln |x|+C\)
B. \(\ln |x|+C\).
C. \(x+C\).
D. \(\frac{1}{x^{2}}+C\)
đáp án
ta có \((\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}(x \neq 0)\)
nên \(\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C\)
4.3. B3
Nếu \(\int f(x) \mathrm{d} x=\frac{x}{3}+e^{x}+C\) thì f(x) bằng
A. \(x^{2}+e^{x}\)
B. \(\frac{x^{4}}{3}+e^{x}\).
C. \(3 x^{2}+e^{x}\).
D. \(\frac{x^{4}}{12}+e^{x}\)
đáp án
Ta có: \(\int f(x) \mathrm{d} x=\frac{x^{3}}{3}+e^{x}+C\)
=> f(x) = \(\left(\frac{x^{3}}{3}+e^{x}+C\right)^{\prime}=x^{2}+e^{x}\)
4.4. B4
Tính I=\(\int\left(1+\tan ^{2} x\right) \mathrm{d} x\)
A. I=sinx+C
B. I=cosx+C
C. I=tanx+C
D.I=cotx+C
đáp án
Vì I\(=\int\left(1+\tan ^{2} x\right) d x=\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\)
4.5. B5
Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=\(x^{2}-3 x+\frac{1}{x}\) là:
A. \(F(x)=2 x-3-\frac{1}{x^{2}}+C\)
B. \(F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{2} x^{2}+\ln |x|+C\).
C. \(F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{2} x^{2}+\ln x+C\).
D. \(F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{2} x^{2}+\ln x+C\)
đáp án:
ta có:
\(\int\left(x^{2}-3 x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3 x^{2}}{2}+\ln |x|+C\).
4.6. B6
Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=\(5 x^{4}+2\) là
A. \(x^{5}+2 x+C\)
B. \(\frac{1}{5} x^{5}+2 x+C\)
C. \(10 x+C\)
D. \(x^{5}+2\)
đáp án
ta có: \(\int f(x) \mathrm{d} x=\int\left(5 x^{4}+2\right) \mathrm{d} x=x^{5}+2 x+C\).
4.7. B7
Tìm học nguyên hàm của hàm số f(x)=\(\frac{1}{4+x^{2}}\)
A. \(2 \arctan 2 x+C\)
B. \(\arctan \frac{x \sqrt{3}}{2}+C\).
C. \(2 \arcsin x+C\).
D. \(\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}+C\)
đáp án
xét \(\int f(x) d x=\int \frac{1}{4+x^{2}} d x\) *
đặt x=2tant \(\left(-\frac{\pi}{2}\lt t\lt \frac{\pi}{2}\right)\) thiे \(\mathrm{d} x=2\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t\).
thay vào * ta được
I=\(\int \frac{1}{4+4 \tan ^{2} t} 2 \cdot\left(1+\tan ^{2} t\right) \mathrm{d} t=\int \frac{1}{2} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} t+C\)
ta có:
x=\(\sqrt{3} \sin t\left(-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\)
=> cost= \(\sqrt{1-\sin ^{2} t}=\sqrt{\frac{3-x^{2}}{3}}\)
Vậy I= \(\int f(x) \mathrm{d} x=\int \frac{1}{4+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}+C\).
Examon có bộ đề gì ?
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất.
Điều này không chỉ khiến bạn mất nhiều thời gian mà còn khiến hiểu lầm về năng thực sự của mình. Luyện đề đúng cách là phương pháp bạn có thể nhận diện các dạng bài thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình.
Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận biết các dạng bài thi quan trọng.
- Thực hành với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề củaExamon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát \(99.9 \%\) đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!