Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(K\) ( \(K\) là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). 

Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F^{\prime}(x)=f(x)\) với mọi \(x \in K\).

Tính chất \(1:\left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x)\) và \(\int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C\)

Tính chất 2: \(\int k f(x) d x=k \int f(x) d x\) với \(k\) là hằng số khác 

Tính chất 3: \(\int[f(x) \pm g(x)] d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x\)

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(S=S(t)\), với \(S(t)\) là quãng đường mà chất điểm đó đi được trong thời gian \(t\), kể từ thời điểm ban đầu.

Gọi \(v(t)\) và \(a(t)\) lần lượt là vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t\), ta có: 

\(v(t)=S^{\prime}(t)\) và \(a(t)=v^{\prime}(t)\).

Từ đó ta có: \(S(t)=\int v(t) d t\) và \(v(t)=\int a(t) d t\).

Bài tập 1. Một vật chuyển động với gia tốc \(a(t)=\frac{3}{t+1}\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

A. \(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

B. \(15,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

C. \(13,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

D. \(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

Lời giải:

Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) được tính theo công thức: \(v(t)=\int a(t) d t=\int \frac{3}{t+1} d t=3 \ln |t+1|+C\)

 Vì vận tốc ban đầu (lúc \(t=0\) ) của vật là \(v_{0}=6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) nên:

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là: 

\(v(10)=3 \ln |10+1|+6 \approx 13,2(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\).

-> Chọn C

Bài tập 2. Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 \(\mathrm{m} / \mathrm{s}\). Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau \(2 \mathrm{~s}\) thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu?

A. \(0,45 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

B. \(0,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

C. \(0,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

D. \(0,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

Lời giải:

Xem như tại thời điểm \(t_{0}=0\) thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu \(20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Ta có \(s(0)=0\) và \(v(0)=20\). 

Vì tên lửa chuyển động thẳng dứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm \(t\) là \(s^{n}(t)=-9,8 m / s^{2}\)

Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm \(t\) là 

\(v(t)=\int-9,8 d t=-9,8 t+C_{1}\).Do \(v(0)=20\) 

nên

 \(-9,8 t+C_{1}=20 \Leftrightarrow C_{1}=20 \Rightarrow v(t)=-9,8 t+20\)

Vậy vận tốc của tên lửa sau \(2 \mathrm{~s}\) là \(v(2)=-9,8.2+20=0,4(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\).

-> Chọn B