Các dạng tích phân hàm ẩn và bài tập vận dụng
Cùng Examon tìm hiểu và chinh phục tích phân hàm ẩn nhé!
Mục lục bài viết
Tích phân hàm ẩn là bài toán nâng cao có thê gặp trong các đề thi, gây ra nhiều khó khăn cho học sinh khi làm bài. Vậy nên, hãy cùng Examon tìm hiểu và chinh phục tích phân hàm ẩn ngay nhé!
1. Định nghĩa
Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà ở đó hàm số bị ẩn đi và không được cho dưới dạng một công thức. Để tính được tích phân hàm ẩn, các bạn cẩn phân đạng chính xác và áp dụng các công thức phù hợp để giải quyết bài toàn một cách nhanh chóng nhất.
2. Các dạng tích phân hàm ẩn
2.1. Áp dụng các quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp
1. Nếu \(\quad u=u(x) \quad\) và \(\quad v=v(x) \quad\) thì \(\quad(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}\).
Nếu \([f(x) \cdot g(x)]^{\prime}=h(x)\) thì \(f(x) . g(x)=\int h(x) d x\).
2. Nếu \(u=u(x)\) và \(\quad v=v(x)\) thì \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \quad\) với \(\quad v \neq 0\).
Nếu \(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}=h(x)\) thì \(\frac{f(x)}{g(x)}=\int h(x) d x\)
3. Nếu \(u=u(x)\) thì \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\) với \(u\gt 0\).
Nếu \([\sqrt{f(x)}]^{\prime}=h(x)\) thì \(\sqrt{f(x)}=\int h(x) d x\).
4. Nếu \(u=u(x)\) thì \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\). Nếu \(\left(e^{f(x)}\right)^{\prime}=g(x)\) thì \(e^{f(x)}=\int g(x) d x\).
5. Nếu \(u=u(x)\) nhận giá trị dương trên \(\mathrm{K}\) thì \([\ln u]^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\) trên \(K\).
Nếu \([\ln (f(x))]^{\prime}=g(x)\) thì \(\ln (f(x))=\int g(x) d x\)
2.2. Phương pháp đổi biến
DẠNG 1: Cho \(\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) . f[u(x)] d x\), tính \(\int_{a}^{b} f(x) d x\). Hoặc cho \(\int_{a}^{b} f(x) d x\), tính \(\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) . f[u(x)] d x\).
DẠNG 2: Tính \(\int_{a}^{b} f(x) d x\), biết hàm số \(f(x)\) thỏa mãn A. \(f(x)+B \cdot u^{\prime} \cdot f(u)+C . f(a+b-x)=g(x)\).T
DẠNG 3: Lần lượt đặt \(t=u(x)\) và \(t=v(x)\) để giải hệ phương trình hai ẩn, suy ra hàm số \(f(x)\).
DẠNG 4: Cho \(f(x) . f(a+b-x)=k^{2}\), khi đó \(I=\int_{a}^{b} \frac{d x}{k+f(x)}=\frac{b-a}{2 k}\).
DẠNG 5: Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \(g[f(x)]=x\) và \(g(t)\) là hàm đơn điệu. Hãy tính tích phân \(I=\int_{a}^{b} f(x) d x\).
2.3. Phương pháp từng phần
Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau:
\(\int_{a}^{b} u(x) \cdot f^{\prime}(x) d x\) hoặc \(\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) . f(x) d x\).
2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức:
\(f^{\prime}(x)+p(x) \cdot f(x)=h(x)\)
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài 1
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng \((-1 ;+\infty)\) và thỏa mãn đẳng thửc \(2 f(x)+\left(x^{2}-1\right) f^{\prime}(x)=\frac{x^{3}+2 x^{2}+x}{\sqrt{x^{2}+3}}\) với mọi \(x \in(-1 ;+\infty)\). Giá trị của \(f(0)\) bằng
Lời giải:
+) Từ giải thiết, ta có:
\(2 f(x)+\left(x^{2}-1\right) f^{\prime}(x)=\frac{x^{3}+2 x^{2}+x}{\sqrt{x^{2}+3}}\)
\(\Rightarrow 2 f(x)+(x-1)(x+1) f^{\prime}(x)=\frac{x(x+1)^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2 f(x)}{(x+1)^{2}}+\frac{x-1}{x+1} f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\prime} f(x)+\frac{x-1}{x+1} f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x-1}{x+1} \cdot f(x)\right)^{\prime}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}} \Rightarrow \frac{x-1}{x+1} \cdot f(x)=\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}} d x\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{x+1} \cdot f(x)=\sqrt{x^{2}+3}+C \quad(*)\)
+ Lại có \((*)\) thóa mãn với mọi \(x \in(-1 ;+\infty)\) nên thay \(x=1\) vào \(\left(^{*}\right)\) ta có \(C=-2\)
Suy ra \(\frac{x-1}{x+1} \cdot f(x)=\sqrt{x^{2}+3}-2\).
Do đó \(f(0)=2-\sqrt{3}\).
3.2. Bài 2
Cho \(\int^{4} f(x) \mathrm{d} x=16\). Tinh \(\int^{2} f(2 x) \mathrm{d} x\)
Lời giải:
Xét tích phân \(\int_{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x\).
Đặt \(2 x=t \Rightarrow \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \mathrm{dt}\).
Khi \(x=0\) thì \(t=0\); khi \(x=2\) thì \(t=4\),
Do đó
\(\int_{0}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(t) \mathrm{dt}=\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \cdot 16=8\).
3.3. Bài 3
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([0 ; 1]\) thỏa mãn \(f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}}\). Tính \(\int_{0}^{1} f(x) d x\)
Lời giải:
Biến đồi \(f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}} \Leftrightarrow f(x)-2 \cdot 3 x^{2} \cdot f\left(x^{3}\right)=-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}}\)
với \(A=1, B=-2\).
Áp dụng công thức ta có:
\(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{1+(-2)} \int_{0}^{1} \frac{-6}{\sqrt{3 x+1}} \mathrm{~d} x=4\).
3.4. Bài 4
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x\). Tính \(I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f(x)}{x} d x\).
Lời giải:
Đặt: \(t=\frac{1}{x} \Rightarrow x=\frac{1}{t}\)
khi đó điều kiện trờ thành:
\(f\left(\frac{1}{t}\right)+2 f(t)=\frac{3}{t} \Rightarrow 2 f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}\).
Hay \(4 f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{6}{x}\), kết hợp với điều kiện \(f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x\).
Suy ra :
\(3 f(x)=\frac{6}{x}-3 \mathrm{x} \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{2}{x^{2}}-1\)
\(I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f(x)}{x} d x=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\left(\frac{2}{x^{2}}-1\right) d x=\left.\left(\frac{-2}{x}-x\right)\right|_{\frac{1}{2}} ^{2}=\frac{3}{2}\)
3.5. Bài 5
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục và nhận giá trị dượng trên \([0 ; 1]\). Biết \(f(x) \cdot f(1-x)=1\) với \(\forall x \in[0 ; 1]\). Tính giá trí \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+f(x)}\)
Lời giải:
Ta có:
\(1+f(x)=f(x) f(1-x)+f(x) \Rightarrow \frac{f(x)}{1+f(x)}=\frac{1}{f(1-x)+1}\)
Xét \(I=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}\).
Đặt \(t=1-x \Leftrightarrow x=1-t \Rightarrow \mathrm{d} x=-\mathrm{d} t\).
Đồi cận: \(x=0 \Rightarrow t=1 ; x=1 \Rightarrow t=0\).
Khi đó
\(I=-\int_{1}^{0} \frac{\mathrm{d} t}{1+f(1-t)}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1+f(1-t)}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(1-x)}=\int_{0}^{1} \frac{f(x) \mathrm{d} x}{1+f(x)}\)Mặt khác
\(\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}+\int_{0}^{1} \frac{f(x) \mathrm{d} x}{1+f(x)}=\int_{0}^{1} \frac{1+f(x)}{1+f(t)} \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x=1\)
hay \(2 I=1\).
Vậy \(I=\frac{1}{2}\).
4.6. Bài 6
Cho hàm số \(y=f(x)\) là hàm lé và liên tục trên \([-4 ; 4]\) biết \(\int_{-2}^{0} f(-x) \mathrm{d} x=2\) và \(\int^{2} f(-2 x) \mathrm{d} x=4\). Tinh \(I=\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x\)
Lời giải:
Xét tích phân \(\int_{-2}^{0} f(-x) \mathrm{d} x=2\).
Đặt \(-x=t \Rightarrow \mathrm{d} x=-\mathrm{dt}\).
Đổi cận: khi \(x=-2\) thi \(t=2\); khi \(x=0\) thì \(t=0\)
do đó
\(\int_{-2}^{0} f(-x) \mathrm{d} x=-\int_{2}^{0} f(t) \mathrm{dt}=\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{dt}\)
\(\Rightarrow \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{dt}=2 \Rightarrow \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2\)
Do hàm số \(y=f(x)\) là hàm số lė nên \(f(-2 x)=-f(2 x)\).
Do đó
\(\int_{1}^{2} f(-2 x) \mathrm{d} x=-\int_{1}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x \Rightarrow \int_{1}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x=-4\).
Xét \(\int_{1}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x\)Đă̆t \(2 x=t \Rightarrow \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \mathrm{dt}\).
Đổi cận: khi \(x=1\) thi \(t=2\); khi \(x=2\) thi \(t=4\)
do đó \(\int_{1}^{2} f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{2}^{4} f(t) \mathrm{dt}=-4\)
\[\Rightarrow \int_{2}^{4} f(t) \mathrm{dt}=-8 \Rightarrow \int_{2}^{4} f(x) \mathrm{d} x=-8 \text {. }\]Do \(I=\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x+\int_{2}^{4} f(x) \mathrm{d} x=2-8=-6\).
3.7. Bài 7
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thóa mãn \(f^{3}(x)+f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x\)
Lời giải:
Đặt \(y=f(x) \Rightarrow x=y^{3}+y \Rightarrow d x=\left(3 y^{2}+1\right) d y\)
Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l}x=0 \rightarrow y^{3}+y=0 \Leftrightarrow y=0 \\ x=2 \rightarrow y^{3}+y=2 \Leftrightarrow y=1\end{array}\right.\)
Khi đó
\(I=\int_{0}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{1} y\left(3 y^{2}+1\right) d y=\int_{0}^{1}\left(3 y^{3}+y\right) d y=\frac{5}{4}\)
4. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!