NGUYÊN HÀM - Lý thuyết và Bài tập

1. Lý thuyết Nguyên Hàm

1.1 Định nghĩa

Nguyên hàm

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên khoảng \((a, b)\).

Ta nói \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng \((a, b)\) nếu và chi nếu

\[F^{\prime}(x)=f(x), \forall \in(a, b)\]

Định lý

Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng \((a, b)\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng đó đều có dạng \(F(x)+C\) vói \(C\) là một hằng số tùy ý.

Định nghĩa 2:

Tích phân bất định của hàm số \(f(x)\), ký hiệu \(\int f(x) d x\), là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm \(f(x)\)

Trong ký hiệu đó ta có:

- Ký hiệu \(\int\) đế chi tích phân bất định;

- \(f(x) d x\) : gọi là biếu thức dưới dấu tích phân;

- \(f(x)\) : gọi là hàm dưới dấu tích phân;

- \(\quad x\) : gọi là biến của tích phân.

Để diễn tả rõ hơn khái niệm tích phân bất định ở trên, ta ký hiệu

\[\int f(x) d x=F(x)+C\]

Trong đó \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x), C\) là hằng số bất kỳ.

Sau đây là các hệ quả được suy ra trực tiếp từ định nghĩa:

\[\begin{array}{ll}\checkmark & \left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x) \\\checkmark & d\left(\int f(x) d x\right)=f(x) d x \\\checkmark & \int d(f(x))=\int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C\end{array}\]

1.2 Tính chất cơ bản

\(\checkmark \quad \int[f(x) \pm g(x)] d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x\).

\(\checkmark \int k \cdot f(x) d x=k \cdot \int f(x) d x, k\) là hằng số.

2. Công thức Nguyên Hàm đầy đủ

Công thức cơ bản Công thức mở rộng

1. \(\int 0 d x=C, \quad \int d x=x+C\)

2. \(\int x^{\alpha} d x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\) \(\int(a x+b)^{a} d x=\frac{1}{a} \cdot \frac{(a x+b)^{a+1}}{\alpha+1}+C, a \neq 0\)

3. \(\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\) \(\int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{1}{a} \cdot \ln |a x+b|+C, a \neq 0\)

4. \(\int e^{x} d x=e^{x}+C\) \(\int e^{a x+b} d x=\frac{1}{a} \cdot e^{a x+b}+C, a \neq 0\)

5. \(\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C \quad(0\lt a \neq 1)\)

6. \(\int \ln x d x=x \ln x-x+C\)

7. \(\int \cos x d x=\sin x+C\) \(\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \cdot \sin (a x+b)+C\)

8. \(\int \sin x d x=-\cos x+C\) \(\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cdot \cos (a x+b)+C\)

9. \(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\) \(\int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \cdot \tan (a x+b)+C\)

10. \(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C\) \(\int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cdot \cot (a x+b)+C\)

11. \(\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C\) \(\left.\int \tan (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cdot \ln |\cos (a x+b)|+C \right\rvert\,\)

12. \(\int \cot x d x=\ln |\sin x|+C\) \(\int \cot (a x+b) d x=\frac{1}{a} \cdot \ln |\sin (a x+b)|+C\)

13. \(\int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x+C\) \(\int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \cdot \arctan \frac{x}{a}+C, a \neq 0\)

14. \(\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C\) \(\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C, a \neq 0\)

15. \(\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+m}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}+m}\right|+C\) \((m \in \mathbb{R})\) \(\begin{array}{l}\int \frac{d x}{\sqrt{(a x+b)^{2}+m}} \\ \quad=\frac{1}{a} \ln \left|(a x+b)+\sqrt{(a x+b)^{2}+m}\right|\end{array}\)

16. \(\int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \cdot \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C \leftrightarrow \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \cdot \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C, a \neq 0\)

3. Bài tập cơ bản

3.1 Tính nguyên hàm bằng công thức

Ví dụ 1. \(I=\int \frac{1}{x^{4}} d x=\int x^{-4} d x=\frac{x^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{3 x^{3}}+C\).

(công thức áp dụng ) \(\frac{1}{a^{m}}=a^{-m} \quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}\)

Ví dụ 2. \(I=\int \frac{1}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} d x=\int\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x=-\frac{1}{x}-\arctan x+C\).

(công thức áp dụng) \(\int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x\)

Ví dụ 3. \(I=\int e^{z}\left(2^{x}+\frac{e^{-x}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) d x=\int(2 e)^{x} d x+\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{(2 e)^{x}}{\ln 2 e}+\arcsin x+C\).

(công thức áp dụng) \(\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x\)

3.2 Phương pháp đổi biến số

Phương pháp

Khi giải tích phân \(\int f(x) d x\) ta gặp hàm \(f(x)\) khá phúc tạp, khó lấy nguyên hàm, nên ta sẽ tìm cách đối qua biến mới, để được tích phân của hàm theo biến mới đơn giản hơn. Phép đối biến trong tích phân bất định được thực hiện nhờ hai dạng thay thế sau đây:

\(\checkmark\) Đặt \(t=\varphi(x)\), trong đó \(t\) là biến mơi. Vói phép thế này, công thức sẽ là:

\[\int f(x) d x=\int g(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x=\int \mathrm{g}(t) d t=G(t)+C .\]

\(\checkmark\) Đặt \(x=\varphi(t)\), trong đó \(\varphi(t)\) là hàm đơn điệu, khả vi theo biến mơi \(t\). Khi đó công thức đối biến sẽ là:

\[\int f(x) d x=\int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) d t=\int g(t) d t=G(\mathrm{t})+C .\]

Ví dụ 1 Tính các tích phân bất định sau: \(I=\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+3}} d x ; \quad\)

Đặt \(t=\sqrt{x^{2}+3} \Leftrightarrow t^{2}=x^{2}+3\)

\[\Rightarrow 2 t d t=2 x d x \Leftrightarrow t d t=x d x\]

Ta có

\[\begin{array}{l} I=\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+3}} d x=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}} x d x \\=\int \frac{t^{2}-3}{t} t d t=\int\left(t^{2}-3\right) d t \\=\frac{1}{3} t^{3}-3 t+C \\\Rightarrow \quad I=\frac{1}{3}\left(\sqrt{x^{2}+3}\right)^{3}-3 \sqrt{x^{2}+3}+C .\end{array}\]

Chú ý

Gặp dạng \(\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c} ; a, b, c \in \mathbb{R} ; a \neq 0\).

TH1. Nếu mẫu số \(a x^{2}+b x+c\) có 2 nghiệm thực \(x=\alpha, x=\beta\)

\[\begin{array}{l}\text { } \int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c}=\int \frac{d x}{a(x-\alpha)(x-\beta)} \\=\frac{1}{a} \int \frac{1}{\alpha-\beta} \cdot\left(\frac{1}{x-\alpha}-\frac{1}{x-\beta}\right) d x \\=\frac{1}{a(\alpha-\beta)} \cdot \ln \left|\frac{x-\alpha}{x-\beta}\right|+C .\end{array}\]

TH2. Nếu mẫu số \(a x^{2}+b x+c\) có nghiệm kép \(x_{1}=x_{2}=\alpha \quad\) thì

\[\int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c}=\int \frac{d x}{a(x-\alpha)^{2}}=-\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{x-\alpha}+C\]

TH3. Nếu mẫu số \(a x^{2}+b x+c\) vô nghiệm thực

\[\begin{array}{l}\text { } \int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c}=\frac{1}{a} \int \frac{d x}{(x+m)^{2}+n^{2}} \\=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{n} \cdot \arctan \left(\frac{x+m}{n}\right)+C . \\\text { với } m=\frac{b}{2 a}, n^{2}=\frac{4 a c-b^{2}}{4 a^{2}} .\end{array}\]

Ví dụ 2 Tính các tích phân bất định sau \(I=\int \frac{\cos x d x}{\sin ^{2} x-6 \sin x+5}\);

Đặt \(t=\sin x \Rightarrow d t=\cos x d x\).

\[\begin{array}{l}\text { Ta có } I=\int \frac{\cos x d x}{\sin ^{2} x-6 \sin x+5}=\int \frac{d t}{t^{2}-6 t+5} \\=\int \frac{1}{(t-5)(t-1)} d t=\frac{1}{4} \int\left(\frac{1}{t-5}-\frac{1}{t-1}\right) d t \\=\frac{1}{4}(\ln |t-5|-\ln |t-1|)+C=\frac{1}{4} \ln \left|\frac{t-5}{t-1}\right|+C \\\Longrightarrow I=\frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sin x-5}{\sin x-1}\right|+C .\end{array}\]

3.3 Phương pháp tích phân từng phần

Ví dụ 2 Tính các tích phân bất định sau: \(I=\int x \sin 2 x d x\);

Bài giải

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=\sin 2 x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=-\frac{1}{2} \cos 2 x\end{array}\right.\right.\)Ta cóPhương pháp

Giả sử \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó. Trong khoảng đó ta có:

\[\begin{array}{l}\quad d(u v)=u d v+v d u \\\Leftrightarrow u d v=d(u v)-v d u \\\Leftrightarrow \int u d v=u v-\int v d u \quad\left({ }^{*}\right)\end{array}\]

Công dụng của công thức (*) ở chỗ là trong thực hành thay vì lấy tích phân \(\int u d v\) đang ở dạng phúc tạp, ta lây tích phân \(\int v d u\) nhiều khi có dạng đơn giản hơn.

!!!Chú ý

i. Đế tính \(\int f(x) d x\) bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phân tích \(f(x)=g(x) \cdot h(x)\), sau đó đặt

\[\left\{\begin{array} { l } { u = h ( x ) } \\{ d v = g ( x ) d x }\end{array} \quad \text { hoặc } \quad \left\{\begin{array}{l}u=g(x) \\d v=h(x) d x .\end{array}\right.\right.\]

ii. Nếu đặt không khéo sẽ dẫn đến \(\int v d u\) phức tạp hơn.

iii. Vậy ta cân đặt như thế nào?

Gặp dạng \(\int P(x) \cdot \ln x d x \quad\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=P(x) d x\end{array} \quad\right.\) với \(P(x)\) là đa thức.
Gặp dạng \(\int P(x) \cdot L G d x \quad\) ta đặt \(\quad\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ d v=L G d x\end{array}\right.\) với \(L G=\) lượng giác.
Gặp dạng \(\int P(x) \cdot L G N d x\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=L G N \\ d v=P(x) d x\end{array} \quad\right.\)với \(L G N=\) lượng giác ngược.
Gặp dạng \(\int P(x) \cdot a^{x} d x, \quad\) ta đặt \(\quad\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ d v=a^{x} d x\end{array}\right.\)

Ví dụ 1 Tính các tích phân bất định sau: \(I=\int x e^{2 x} d x\);

Bài giải

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=e^{2 x} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=\frac{1}{2} e^{2 x}\end{array}\right.\right.\).

Ta có

\[\begin{aligned}I & =\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x \\& =\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{4} e^{2 x}+C .\end{aligned}\]

Ví dụ 2 Tính các tích phân bất định sau: \(I=\int x \sin 2 x d x\);

Bài giải

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=\sin 2 x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=-\frac{1}{2} \cos 2 x\end{array}\right.\right.\)

Ta có

\[\begin{aligned}I & =-\frac{x}{2} \cos 2 x+\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x \\& =-\frac{x}{2} \cos 2 x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C .\end{aligned}\]

4. Học như thế nào cho hiệu quả?

"Học như thế nào cho hiệu quả" là câu hỏi muôn thuở của rất nhiều học sinh trong giai đoạn thi cử này. Cũng rất khó để tìm ra một câu trả lời chính xác vì học hiệu quả cũng do mỗi học sinh có ý thức về việc học như thế nào ở mức độ nào mà thôi. Nhưng Examon cũng đã khảo sát rất nhiều từ bạn học sinh khác nhau và cho ra một kết luận rằng việc học hiệu quả hay cũng bị ảnh hưởng rất nhiều từ việc bạn tìm đúng phương pháp học hay không. Phương pháp mà bạn cho là đúng thì liệu nó có hiệu quả với bạn hay không. Sau đây Examon sẽ giới thiệu cho bạn một phương pháp học mà Examon đã thử và nó rất hiệu quả và cũng giúp Examon vượt qua các kỳ thi một cách dễ dàng hơn rất nhiều.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [NGUYÊN HÀM]

Có bao giờ bạn tự hỏi tại sao điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để việc học trở nên hiệu quả thì nên là gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK	Tiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP	7
Bài 1. Mệnh đề toán học	3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp	3
Bài tập cuối chương I	1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN	6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3
Bài tập cuối chương II	1

Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%

Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố tiên quyết để dẫn đến việc bạn học phương pháp này có hiệu quả hay không.

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này.

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

*Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh*