Dựa vào tính chất cấp số nhân chứng minh các đẳng thức
Trong bài viết này, Examon cùng bạn tìm hiểu và chứng minh các đẳng thức dựa vào tính chất cấp số nhân.
Mục lục bài viết
Một trong những khái niệm quan trọng và thú vị trong toán học là cấp số nhân. Cấp số nhân không chỉ mang lại những ứng dụng cần thiết trong nhiều lĩnh vực khác nhau mà còn giúp chúng ta chứng minh được nhiều đẳng thức thú vị. Bài viết này, Examon sẽ dẫn các bạn qua bài tập chứng minh các đẳng thức dựa trên tính chất của cấp số nhân. Hãy cùng bước vào thế giới toán học đầy màu sắc và khám phá sự ứng dụng tuyệt vời của cấp số nhân trong việc chứng minh đẳng thức.
1. Kiến thức cần nhớ
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân).
Có nghĩa là: \(u_{n}\) là cấp số nhân với \(\Leftrightarrow \forall n \ge 2 , u_n=u_{n - 1}.q\) với \(n \in N^{\ast}\)
2. Các tính chất cần dùng
Cho \((u_n)\) là cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1\) và công bội \(q\). Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}{ }^{2}=u_{n-1} \cdot \mathrm{u}_{n+1}\) với \(\mathrm{n} \geq 2\).
Để chứng minh ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta cần chứng minh: \(\mathrm{ac}=\mathrm{b}^{2}\).
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Cho \(a, b, c\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân .Chứng minh đẳng thức sau :
\((\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}) \cdot(\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c})=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}\)
Lời giải
Ta có \(a, b\) và \(c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: \(b^{2}=a c\)
Xét:
\[\begin{array}{l}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}) \cdot(\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c})=[(\mathrm{a}+\mathrm{c})+\mathrm{b}] \cdot[(\mathrm{a}+\mathrm{c})-\mathrm{b}] \\=(\mathrm{a}+\mathrm{c})^{2}-\mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{ac}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2} \\\left.=\mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2} \text { ( vì ac }=\mathrm{b}^{2}\right) \\=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2} \text { (điều phải chứng minh). }\end{array}\]3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân và các số nguyên dương \(\mathrm{m} ; \mathrm{k}(\mathrm{m}\lt \mathrm{k})\). Chứng minh:
\(\mathrm{u}_{\mathrm{k}-\mathrm{m}} \cdot \mathrm{u}_{\mathrm{k}+\mathrm{m}}=\mathrm{u}_{k^{2}}\)
Lời giải
Ta có :
\[\begin{aligned}u_{k-m} \cdot u_{k+m} & =u_{1} \cdot q^{k-m-1} \cdot u_{1} \cdot q^{k+m-1} \\& =u_{1}^{2} \cdot q^{2 k-2} \\& =\left(u_{1} \cdot q^{k-1}\right)^{2} \\& =u_{k}^{2}(\text { đpcm})\end{aligned}\]3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Cho bốn số dương \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\) và \(\mathrm{d}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: \(\frac{c}{d(a+c)}=\frac{1}{b+d}\)
Lời giải
Gọi 4 số \(a,b,c\) và \(d\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q.
Ta có:\(\mathrm{c}=\mathrm{a} \cdot \mathrm{q}^{2} ; \mathrm{b}=\mathrm{aq}, \mathrm{d}=\mathrm{aq}^{3}\) và \(\mathrm{d}=\mathrm{cq}\) nên \(\frac{c}{d}=\frac{1}{a}\)
Khi đó:
\(\frac{c}{d(a+c)}=\frac{c}{d} \cdot \frac{1}{a+c}=\frac{1}{q} \cdot \frac{1}{a+a \cdot q^{2}}=\frac{1}{q a\left(1+q^{2}\right)}\) \((1)\)
Và \(\frac{1}{b+d}=\frac{1}{a q+a q^{3}}=\frac{1}{a q\left(1+q^{2}\right)}\) \((2)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{c}{d(a+c)}=\frac{1}{b+d}\) ( điều phải chứng minh).
4. Cải thiện điểm số với AI Examon
Qua bài viết này, chúng ta đã cùng nhau khám phá cách dựa vào tính chất của cấp số nhân để chứng minh các đẳng thức trong toán học. Hy vọng rằng những kiến thức Examon cung cấp sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về sức mạnh của cấp số nhân và sự kỳ diệu của các phép toán. Những phương pháp và đẳng thức đã được chứng minh không chỉ là nền tảng vững chắc cho các bài toán sau này mà còn là công cụ hữu ích trong việc rèn luyện tư duy logic và lập luận chặt chẽ.
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.