Dựa vào các tính chất để tính tích phân
Cùng Examon tìm hiểu cách tính tích phân dựa vào các tính chất của nó nhé!
Mục lục bài viết
Trong quá trình học, đặc biệt là khi học về tích phân, học sinh không tránh khỏi gặp phải những sai lầm. Điều này không chỉ gây khó khăn trong việc giải quyết các bài toán mà còn làm giảm đi sự tự tin và niềm yêu thích với môn Toán. Một nguyên nhân nổi bật dẫn đến những sai lầm này là việc chưa nắm vững và áp dụng đúng tính chất quan trọng để giải bài toán. Vì vậy, Examon mang đến bài viết này để giúp bạn vượt qua nỗi sợ tích phân nhé.
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Các tính chất quan trọng cần nhớ
Giả sử \(f, g\) liên tục trên \(K\) và \(a, b, c\) là ba số bất kì thuộc \(K\). Khi đó ta có :
1) \(\int_{a}^{a} f(x) d x=0\);
2) \(\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\);
3) \(\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{b}^{c} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x\)
4) \(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x\)
5) \(\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x\) với \(k \in R\)
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Biết \(\int_{0}^{2}[f(x)+x] \mathrm{d} x=6\) và \(\int_{0}^{2}[3 f(x)-g(x)] \mathrm{d} x=10\) .
Tính \(I=\int_{0}^{2}[2 f(x)+3 g(x)] \mathrm{d} x\)
Lời giải
Ta có :
\(\int_{0}^{2}[f(x)+x] \mathrm{d} x=6 \Leftrightarrow \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x+\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{2}=6 \Leftrightarrow \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=4\)
\(\int_{0}^{2}[3 f(x)-g(x)] \mathrm{d} x=10 \Leftrightarrow \int_{0}^{2} 3 f(x) \mathrm{d} x-\int_{0}^{2} g(x) \mathrm{d} x=10\)
\(\Rightarrow \int_{0}^{2} g(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2} 3 f(x) \mathrm{d} x-10=2\)
\(I=\int_{0}^{2}[2 f(x)+3 g(x)] \mathrm{d} x=2.4+3.2=14\).
Vậy \(I=14\).
3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho \(\int_{0}^{6} f(x) \mathrm{d} x=9\). Tính \(I=\int_{0}^{2} f(3 x) \mathrm{d} x\)
Lời giải
Ta có: \(I=\int_{0}^{2} f(3 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3} \int_{0}^{2} f(3 x) \mathrm{d} (3 x)=\frac{1}{3} \int_{0}^{6} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{3} \cdot 9=3\).
3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Cho \(\int_{1}^{2}[4 f(x)-2 x] d x=1\). Tính \(\int_{1}^{2} f(x) d x\)
Lời giải
Ta có :
\(\int_{1}^{2}[4 f(x)-2 x] d x=1 \Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f(x) d x-2 \int_{1}^{2} x d x=1 \Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f(x) d x-\left.2 \cdot \frac{x^{2}}{2}\right|_{1} ^{2}=1\)
\(\Leftrightarrow 4 \int_{1}^{2} f(x) d x=4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2} f(x) d x=1\)
4. Phương pháp học đúng cùng Examon
Trong bài viết này, chúng ta đã cùng nhau khám phá cách tìm tích phân dựa vào tính chất. Việc áp dụng các tính chất này không chỉ giúp chúng ta giải quyết các bài toán một cách hiệu quả mà còn giúp chúng ta hiểu sâu hơn về tích phân. Hy vọng rằng bài viết của Examon đã giúp các bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để dễ dàng vượt qua những thử thách của Toán học.
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%
Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào?
Mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
