Đổi vai trò biến khi tính tích phân
Đổi vai trò biến là một kỹ thuật đặc biệt cho phép thay đổi vai trò giữa biến và hàm trong quá trình tích phân. Hãy cùng Examon khám phá ở bài viết dưới đây.
Mục lục bài viết
Trong thế giới toán học, chúng ta sẽ thường bắt gặp những khái niệm và quy tắc đầy thú vị. Một trong số đó là "đổi vai trò biến khi tính tích phân". Tính chất này cho phép chúng ta thay đổi vai trò giữa biến và hàm trong quá trình tính tích phân, khiến cho bài toán trở nên dễ dàng hơn. Hãy cùng Examon khám phá và tìm hiểu thêm về chủ đề này nhé!
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Phương pháp chung
Đổi vai trò của biến \(x\) và \(y\)
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(x=G(f(x))\), trong đó \(G(t)\) là hàm đơn điệu trên \(\mathbb{R}\).Tính tích phân \(I=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\).
Phương pháp:
Đặt \(y=f(x) \rightarrow x=G(y) \rightarrow \mathrm{d} x=G^{\prime}(y) \mathrm{d} y\).
Đổi cận:
\(x=a \Rightarrow G(y)=a \Rightarrow y=\alpha\);
\(x=b \Rightarrow G(y)=b \Rightarrow y=\beta\).
Do đó \(I=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\alpha}^{1} y G^{\prime}(y) \mathrm{d} y\).
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1: Biết mỗi số thực \(t \geq 0\) phương trình \(4 x^{3}+t x-4=0\) có nghiệm dương duy nhất \(x=x(t)\), với \(x(t)\) là hàm số liên tục theo \(t\) trên \([0 ;+\infty)\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{7}[x(t)]^{2} d t\)
Lời giải
Đặt \(t=\frac{4-4 x^{3}}{x} \Rightarrow d t=-\frac{8 x^{3}+4}{x^{2}} d x\)
Đổi cận : \(\left\{\begin{array}{l}t=0 \Rightarrow 4 x^{3}-4=0 \Leftrightarrow x=1 \\ t=7 \Rightarrow 4 x^{3}+7 x-4=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)
Ta có \(I=-\int_{1}^{\frac{1}{2}} x^{2} . \frac{8 x^{3}+4}{x^{2}} d x=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(8 x^{3}+4\right) d x=\left.\left(2 x^{4}+4 x\right)\right|_{\frac{1}{2}} ^{1}=\frac{31}{8}\)
3.2. Bài tập 2
Bài 2: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f^{3}(x)+f(x)=x\). Tính \(I=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\).
Lời giải
Đặt \(y=f(x) \Rightarrow y^{3}+y=x\) và \(\mathrm{d} x=\left(3 y^{2}+1\right) \mathrm{d} y\).
Đổi cận:
\(x=0 \Rightarrow y^{3}-y=0 \Rightarrow y=0\);
\(x=2 \Rightarrow y^{3}+y=2 \Rightarrow y=1 \text {. }\)
Do đó \(I=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} y\left(3 y^{2}+1\right) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1}\left(3 y^{3}+y\right) \mathrm{d} y=\frac{5}{4}\).
3.3. Bài tập 3
Bài 3: Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2[f(x)]^{3}+3 f(x)+5=x\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I=\int_{5}^{10} f(x) d x\)
Lời giải
Đặt \(t=f(x) \Rightarrow 2 t^{3}+3 t+5=x \Rightarrow d x=\left(6 t^{2}+3\right) d t\)
Đổi cận :
\[\begin{array}{l}x=5 \Rightarrow 2 t^{3}+3 t+5=5 \Leftrightarrow t=0 \\x=10 \Rightarrow 2 t^{3}+3 t+5=10 \Leftrightarrow t=1\end{array}\]Vậy \(I=\int_{5}^{10} f(x) d x=\int_{0}^{1} t\left(6 t^{2}+3\right) d t=3\).
4. Tạo dựng nền tảng vững chắc cùng Examon
Việc đổi vai trò biến không chỉ giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp một cách dễ dàng hơn, mà còn mở ra những khía cạnh mới và độc đáo trong lĩnh vực tích phân. Bằng cách áp dụng quy tắc này, chúng ta có thể khám phá những mối liên hệ sâu sắc giữa biến và hàm. Mong rằng qua đó các bạn sẽ bổ sung thêm cho mình một phương pháp để tính tích phân một cách hiệu quả hơn.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!