Điều kiện để dãy số là cấp số công, cấp số nhân

1. Kiến thức cần nhớ

1.1 Điều kiện để dãy số là cấp số cộng

Ba số hạng \(u_{\mathrm{k}}, u_{\mathrm{k}+1}, u_{\mathrm{k}+2}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi

\[\mathrm{u}_{\mathrm{k}+1}=\frac{1}{2}\left(u_{k}+u_{k+2}\right)\]

1.2 Điều kiện để dãy số là cấp số nhân

Ba số hạng \(u_{\mathrm{k}}, u_{\mathrm{k}+1}, \mathrm{u}_{\mathrm{k}+2}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi

\[u_{k+1}^{2}=u_{k} \cdot u_{k+2} .\]

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Cho hai số -3 và 23 . Xen kẽ giữa hai số đã cho \(n\) số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai \(\mathrm{d}=2\) Tìm n.

Lời giải:

Khi xen vào giữa hai số -3 và \(23 \mathrm{n}\) số hạng thì ta được một \(\mathrm{CSC}\) với công sai \(\mathrm{d}=2\). Nên suy ra CSC trên có \(n+2\) số hạng và 23 là số hạng thứ \(n+2\).

Khi đó ta có: \(23=-3+(n+1) 2 \Rightarrow n=12\).

2.2 Ví dụ 2

Cho các số \(-4,1,6, x\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tim \(x\) ?

Lời giải:

Vì dãy số \(-4,1,6, x\) theo thứ tự lập thành một CSC nên ta có: \((x+1) / 2=6 \Leftrightarrow x=11\).

2.3 Ví dụ 3

Với giá trị x nào dưới đấy thì các số \(-4, x,-9\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?

Lời giải:

Vì dãy số \(-4, x,-9\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:

\[x^{2}=36 \Leftrightarrow x= \pm 6\]

3. Bài tập vận dụng

Bài 1: Biết các số \(C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, C_{n}^{3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với \(\mathrm{n}\gt 3\). Tìm n?

Lời giải

Vì các số \(C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, C_{n}^{3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

\[\begin{array}{c}\frac{C_{n}^{1}+C_{n}^{3}}{2}=C_{n}^{2} \\\Leftrightarrow \frac{n!}{(n-1)!}+\frac{n!}{3!(n-3)!}=2 \frac{n!}{2!(n-2)!} \\\Leftrightarrow n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=n(n-1) \\\Leftrightarrow n^{2}-9 n+14=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}n=7 \\n=2 \text ({ l } ) .\end{array}\right.\end{array}\]

Vậy \(n=7\).

Bài 2: Các số \(x+6 y, 5 x+2 y, 8 x+y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số \(x-1, y+2, x-3 y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính \(y^{2}+x^{2}\).

Lời giải

Các số \(x+6 y, 5 x+2 y, 8 x+y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng;

đồng thời các số \(x-1, y+2, x-3 y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Nên ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\frac{x+6 y+8 x+y}{2}=5 x+2 y \\(x-1)(x-3 y)=(y+2)^{2}\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{r}x=3 y \\(3 y-1)(3 y-3 y)=(y+2)^{2}\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-6 \\y=-2\end{array}\right.\end{array}\]

Khi đó \(\mathrm{y}^{2}+\mathrm{x}^{2}=4+36=40\).

Bài 3: Tìm tất cả giá trị của \(x\) để ba số \(2 x-1, x, 2 x+1\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Lời giải

Vì ba số \(2 x-1, x, 2 x+1\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:

\[(2 x-1)(2 x+1)=x^{2} \Leftrightarrow 3 x^{2}=1 \Leftrightarrow x= \pm 1 / \sqrt{3}\]

Bài 4: Ba góc \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}(\mathrm{A}\lt \mathrm{B}\lt \mathrm{C})\) của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải

Vì ba góc \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}(\mathrm{A}\lt \mathrm{B}\lt \mathrm{C})\) của tam giác tạo thành cấp số cộng và góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất nên ta có:

\[\left\{\begin{array} { c } { \hat { A } + \hat { B } + \hat { C } = 1 8 0 ^ { \circ } } \\{ \hat { C } = 2 \hat { A } } \\{ \hat { C } + \hat { A } = 2 \hat { B } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\hat{A}=40^{\circ} \\\hat{B}=60^{\circ} \\\hat{C}=80^{\circ}\end{array}\right.\right.\]

Vậy hiệu giữa góc lớn nhất và góc nhỏ nhất là: \(80^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}\)

Bài 5: Với giá trị \(x\), y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là \(-2, x,-18, y\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?

Lời giải

Ta có: \(-2, x,-18\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: \(x^{2}=36 \Leftrightarrow x= \pm 6\).

Ta có: \(x,-18, y\) theo thứ tựlập thành cấp số nhân nên: \(x \cdot y=18^{2}\)

Nếu \(x=6 \Rightarrow y=54\).

Nếu \(x=-6 \Rightarrow y=-54\).

4. Phương pháp học tập hiệu quả cùng Examon

Bài viết này Examon đã tổng hợp đầy đủ ngắn gọn từ A đến Z cho các bạn học sinh dễ dàng tiếp cận. Hy vọng sau khi đọc song bài viết các bạn học sinh có thể nẵm vững các kiến thức và áp dụng vào các bài kiểm tra đạt kết quả tốt. Cùng Examon trên con đường tìm kiếm tri thức.

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.