Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi 2 đường cong
Bài viết này sẽ đề cập đến một ứng dụng quan trọng của tích phân trong toán học và thực tiễn: tính diện tích của các hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong
Mục lục bài viết
Việc tính diện tích hình phẳng bị giới hạn 2 đường cong đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về tích phân và khả năng áp dụng nó vào các trường hợp cụ thể. Bằng cách sử dụng các phương pháp tích phân, chúng ta có thể xác định được diện tích chính xác của các hình dạng , từ các đường cong đơn giản đến phức tạp. Bài viết của Examon sẽ trình bày cách tiếp cận và giải quyết các bài toán liên quan đến tính diện tích của các hình phẳng bị giới hạn bởi hai đường cong.
1. Lý thuyết cần nhớ
Cho hàm số \(f\) liên tục trên \(\mathrm{K}\) và \(a\), \(b\) là hai số bất kì thuộc \(\mathrm{K}\). Nếu \(F\) là một nguyên hàm của \(f\) trên \(\mathrm{K}\) thì hiệu số:
\[F(b)-F(a)\]Được gọi là tích phân của \(f\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu:
\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]2. Phương pháp giải
Cho hai hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) là :
\(S=\int_{\alpha}^{\beta}|f(x)-g(x)| d x\).
Trong đó \(\alpha, \beta\) là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình \(f(x)=g(x)(a \leq \alpha\lt \beta \leq b)\)
3. Cách giải
Bước 1: Giải phương trình \(f(x)=g(x)\) tìm các giá trị \(\alpha,\beta\).
Bước 2: Tính \(S=\int_{\alpha}^{\beta} \mid f(x)-g(x)| d x\).
4. Bài tập minh họa
4.1. Bài tập 1
Bài 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2} ; y=x+2\) .
Lời giải
Ta có \(x^{2}=x+2 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\ x=2\end{array}\right.\)
Do đó: \(S=\int_{-1}^{2}\left|x^{2}-x-2\right| d x=\int_{-1}^{2}\left(2+x-x^{2}\right) d x=\frac{9}{2}\)
4.2. Bài tập 2
Bài 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{3}-12 x\) và \(y=x^{2}\) là:
Lời giải
Ta có: \(x^{3}-12 x=x^{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=0 \\ x=-3 \\ x=4\end{array}\right.\)
Do đó:
\(S=\int_{-3}^{4}\left|x^{3}-12 x-x^{2}\right| d x=\int_{-3}^{0}\left|x^{3}-12 x-x^{2}\right| d x+\int_{0}^{4}\left|x^{3}-12 x-x^{2}\right| d x\)
\[=\left|\int_{-3}^{0}\left(x^{3}-12 x-x^{2}\right) d x\right|+\left|\int_{0}^{4}\left(x^{3}-12 x-x^{2}\right) d x\right|=\frac{937}{12} .\]4.3. Bài tập 3
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y^{2}-2 y+x=0, x+y=0\) .
Lời giải
Biến đổi về hàm số theo biến số \(\mathrm{y}\) có: \(x=-y^{2}+2 y, x=-y\)
Ta có: \(-y^{2}+2 y-(-y)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y=0 \\ y=3\end{array}\right.\)
Do đó: \(S=\int_{0}^{3}\left|-y^{2}+3 y\right| d y=\int_{0}^{3}\left(-y^{2}+3 y\right) d y=\frac{9}{2}\).
5. Chinh phục tích phân cùng AI Examon
Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta thường gặp phải các vấn đề liên quan đến tính toán diện tích của các hình dạng phức tạp . Bằng cách sử dụng các công cụ và phương pháp của tích phân, chúng ta có thể tiếp cận và giải quyết những vấn đề này một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng rằng thông qua bài viết này, độc giả có thể hiểu và áp dụng phương pháp tính và các bài tập minh họa mà Examon cung cấp.
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.