Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi 1 đường cong
Examon sẽ nêu ra cho bạn phương pháp giải và bài tập tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi 1 đường cong
Mục lục bài viết
Có phải bạn từng tự hỏi về ứng dụng của tích phân, cách tính diện tích của một miếng đất nằm giữa một dòng sông cong kỳ quái? Hoặc là diện tích của một khu vườn có hình dạng phức tạp bị giới hạn bởi lối đi?
Đó chính là câu hỏi mà chúng ta sẽ tìm hiểu và giải quyết trong bài viết dưới đây về ứng dụng thực tế tích phân: tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi 1 đường cong
1. Kiến thức cần nhớ
Cho hàm \(f(x)\) của 1 biến thực \(x\) liên tục trên một khoảng xác định (kí hiệu: \(K\) ) và \(a,b\) là hai số thực bất kì thuộc \(K\). Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số của \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) trong khoảng ( \(a, b\) ). Từ đó, ta có ký hiệu như sau:
Tích phân từ \(a\) đến \(b\) của \(f(x)\) được ký hiệu là: \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)
Ta gọi \(a\) là cận dưới của tích phân, còn \(b\) là cận trên của tích phân.
Ta có: \(\int_{a}^{b} f(x) d x= \left.F(x)\right|_{a} ^{b} =F(b)-F(a)\) (với \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\)
2. Phương pháp giải
Bài toán : Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) (liên tục trên đoạn \([a ; b]\) ), hai đường thẳng \(x=a, x=b\) và trục \(O x\)
+) Bước 1: Giả sử \(S\) là diện tích cần xác định, ta có: \(S=\int_{a}^{b}|f(x)| d x\).
+) Bước 2: Xét dấu biểu thức \(f(x)\) trên \([a ; b]\). Từ đó phân được đoạn \([a ; b]\) thành các đoạn nhỏ, giả sử: \([a ; b]=\left[a ; c_{1}\right] \cup\left[c_{1} ; c_{2}\right] \cup \ldots \cup\left[c_{k} ; b\right]\) mà trên mỗi đoạn \(f(x)\) chỉ có một dấu.
+) Bước 3: Khi đó: \(S=\int_{a}^{c_{1}}|f(x)| d x+\int_{c_{1}}^{c_{2}}|f(x)| d x+\ldots+\int_{c_{k}}^{b}|f(x)| d x\).
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1: Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{2}+4 x, O x\) và hai đường thẳng \(x=1,x = 2\).
Lời giải
Xét phương trình \(x^{2}+4 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \notin[1 ; 2] \\ x=-4 \notin[1 ; 2]\end{array}\right.\).
Do đó:
\(S=\int_{1}^{2}\left|x^{2}+4 x\right| d x=\left|\int_{1}^{2}\left(x^{2}+4 x\right) d x\right|\)
\(=\left.\left|\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{4x^{2}}{2}\right)\right|_{1}^{2} \right\rvert\,=\frac{25}{3}\)
3.2. Bài tập 2
Bài 2: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{2}-x-2\) và trục hoành bằng \(\frac{a}{b}\), với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a-b\)
Lời giải
Xét phương trình \(x^{2}-x-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\ x=2\end{array}\right.\).
Do đó
\(\left.S=\int_{-1}^{2}\left|x^{2}-x-2\right| d x=\left|\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-x-2\right) d x\right|\left|\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2 x\right)\right|_{-1}^{2} \right\rvert\,=\frac{9}{2}\).
Suy ra \(a=9, b=2 \Rightarrow a-b=7\).
3.3. Bài tập 3
Bài 3: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x \ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x=2\) bằng \(a+b \ln 2\) với \(a, b\) là các số hữu tỉ. Tính \(T=2 a+b\).
Lời giải
Xét phương trình \(x \ln x=0 \Leftrightarrow x=1\).
Do đó \(S=\int_{1}^{2}|x \ln x| d x=\left|\int_{1}^{2} x \ln x d x\right|\).
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{1}{x} d x \\ v=\frac{x^{2}}{2}\end{array}\right.\right.\).
\[\left.S=\left|\frac{x^{2}}{2} \ln x\right|_{1}^{2}-\left.\int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x|=| \frac{x^{2}}{2} \ln x\right|_{1} ^{2}-\left.\frac{x^{2}}{4}\right|_{1} ^{2} \right\rvert\,=2 \ln 2-\frac{3}{4} \text {. }\]
Suy ra \(a=-\frac{3}{4}, b=2 \Rightarrow T=2 a+b=\frac{1}{2}\).
4. Cùng Examon khám phá điều thú vị
Bạn đã cùng Examon đi tìm hiểu và khám phá sâu hơn về bài toán tính diện tích của các hình phẳng bị giới hạn bởi một đường cong, qua đó nắm vững cách áp dụng tích phân để giải quyết các vấn đề thực tế. Bằng cách này, không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tích phân mà còn đặt ra một cách tiếp cận mới trong việc giải quyết các vấn đề thực tế. Hãy luôn đồng hành cùng Examon trong cuộc hành trình này và khám phá sự thú vị của toán học trong cuộc sống hằng ngày!
PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [TÍCH PHÂN]
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%
Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
