Đạt điểm tuyệt đối với dạng bài Nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) ta có công thức nguyên hàm từng phần: \(\int u d v=u v-\int v d u\).

Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng :\(I=\int f(x) \cdot g(x) d x\), trong đó \(f(x)\) và \(g(x)\) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(I_{1}=\int x \sin x d x\)

b) \(I_{2}=\int x e^{3 x} d x\)

c) \(I_{3}=\int x^{2} \cos x d x\)

d) \(I_{4}=\int x \ln x d x\)

Lời giải:

a) \(I_{1}=\int x \sin x d x\)

- Cách 1: Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ \sin x d x=d v\end{array} \longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=-\cos x\end{array}\right.\right.\)

\(\longrightarrow I_{1}=\int x \sin x d x=-x \cos x+\int \cos x d x\)

\(=-x \cos x+\sin x+C\).

- Cách 2: 

\(I_{1}=\int x \sin x d x=-\int x d(\cos x)\)

\(=-\left[x \cos x-\int \cos x d x\right]=-x \cos x+\sin x+C\)

b) \(I_{2}=\int x e^{3 x} d x\)

- Cách 1: Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ e^{3 x} d x=d v\end{array} \longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=\frac{1}{3} e^{3 x}\end{array}\right.\right.\)

\(\longrightarrow I_{2}=\int x e^{3 x} d x=\frac{1}{3} x e^{3 x}-\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x\)

\(=\frac{1}{3} x e^{3 x}-\frac{1}{9} \int e^{3 x} d(3 x)=\frac{1}{3} x e^{3 x}-\frac{1}{9} e^{3 x}+C\)

- Cách 2:

\(I_{2}=\int x e^{3 x} d x=\frac{1}{3} \int x d\left(e^{3 x}\right)=\frac{1}{3}\left[x e^{3 x}-\int e^{3 x} d x\right]\)

\(=\frac{1}{3}\left[x e^{3 x}-\frac{1}{3} \int e^{3 x} d(3 x)\right]=\frac{1}{3}\left(x e^{3 x}-\frac{1}{3} e^{3 x}\right)+C\)

c) \(I_{3}=\int x^{2} \cos x d x\)

- Cách 1: 

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x^{2} \\ \cos x d x=d v\end{array} \longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=2 x d x \\ v=\sin x\end{array}\right.\right.\)

Khi đó:

 \(I_{3}=\int x^{2} \cos x d x=x^{2} \sin x-\int 2 x \sin x d x\)

Xét \(J=\int x \sin x d x\). 

Đặt: \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ \sin x d x=d v \\ v=-\cos x\end{array}\right.\)

\(\longrightarrow J=-x \cos x+\int \cos x d x=-x \cos x+\sin x\)

\(\begin{array}{l}\longrightarrow u=d x \\ \longrightarrow I_{3}=x^{2} \sin x-2(-x \cos x+\sin x)+C .\end{array}\)

Cách 2:  

\(I_{3}=\int x^{2} \cos x d x=\int x^{2} d(\sin x)\)

\(=x^{2} \sin x-\int \sin x d\left(x^{2}\right)\)

\(=x^{2} \sin x-\int 2 x \sin x d x\)

\(=x^{2} \sin x+2 \int x d(\cos x)\)

\(=x^{2} \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x\)

\(=x^{2} \sin x+2 x \cos x-2 \sin x\)

d) \(I_{4}=\int x \ln x d x\)

- Cách 1: 

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ x d x=d v\end{array} \longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d x}{x} \\ v=\frac{x^{2}}{2}\end{array}\right.\right.\)

\(\longrightarrow I_{4}=\int x \ln x d x=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{d x}{x}\)

\(=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{x^{2}}{4}+C\)

- Cách 2: Ta có:

\(I_{4}=\int x \ln x d x=\int \ln x d\left(\frac{x^{2}}{2}\right)\)

\(=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\int \frac{x^{2}}{2} d(\ln x)\)

\(=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\int \frac{x^{2}}{2} \frac{d x}{x}\)

\(=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{x^{2}}{4}+C\)

Trên đây là phần cung cấp các lý thuyết cơ bản nhất và bài tập vận dụng để các bạn hiểu hơn. Examon chúc các bạn dù trong bất cứ kì thi nào cũng sẽ làm hết sức mình và hoàn thành tốt mục tiêu mình đề ra. Cố gắng lên nhé!

Để học và luyện đề có hiệu quả khi thời gian còn ít, các bạn có thể tham khảo những cách sau:

1. Tập trung vào kiến thức trọng tâm:

- Xác định các chủ đề, kiến thức cốt lõ̃i thường xuyên xuất hiện trong các đề thi.

- Ưu tiên nắm vững các khái niệm, định lý, công thức chính yếu.

- Tập trung luyện tập các dạng bài tập phổ biến và quan trọng.

2. Sử dụng các tài liệu, đề thi chuẩn:

- Tham khảo sách giáo khoa, tài liệu bài giảng, video hướng dã̃n trên Examon

- Luyện tập các đề thi thử, đề minh họa, đề thi học kỳ, đề thi THPTQG gần đây.

3. Rèn luyện ký năng giái đề:

- Luyện tập phân tích đề, xác định dạng bài và cách giải.

- Tập trung vào các bước giải chi tiết, kỹ thuật tính toán chuẩn xác.

- Rút ra kinh nghiệm, bài học từ các lần làm đề trước đó.

Đồng thời, bạn cũng có thể tham khảo phương pháp luyện đề từ Examon

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

• Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
• Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
• Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
• Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
• Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!