Đạo hàm và các bài toán liên quan
Examon khuyên bạn hãy đọc bài viết này, và hứa rằng bạn sẽ tìm lại được gốc rễ và còn bứt phá được số điểm hiện tại.
Mục lục bài viết
Đạo hàm nhàm chán, khó nhớ, khó học và khó áp dụng? Nếu bạn đang có những suy nghĩ này thì Examon sẽ nói với bạn rằng bạn đã sai. Đạo hàm vừa thú vị vừa dễ học nếu bạn tìm đúng tài liệu và phương pháp học. Và bài viết này dành cho bạn, Exaomon đã tổng hợp tất tần tật kiến thức từ lý thuyết đến bài tập thực hành của đạo hàm đơn giản nhất để bạn đọc có thể dễ dàng nắm được cái cốt lõi vủa đạo hàm.
1. Giới thiệu về đạo hàm
1.1 Định nghĩa
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a ; b)\) và \(x_{0} \in(a ; b)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
\[\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\]thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_{0}\) và kí hiệu là \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\) (hoặc \(y^{\prime}\left(x_{0}\right)\) ), tức là
\[f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\]1.2 Quy tắc
Giả sử \(u=u(x), v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định.
Ta có:
1. \((k \cdot u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}\) \(k\) là hằng số;
2. \((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\) Đạo hàm của một tống;
3. \((u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\) Đạo hàm của một tích;
4. \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, v \neq 0\) Đạo hàm của một thương.
2. Bảng công thức
Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp \(u=u(x)\)
1. \((C)^{\prime}=0, C\) là hằng số
2. \((x)^{\prime}=1\)
3. \(\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}\) \(\left(u^{a}\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{a-1} \cdot u^{\prime}\)
4. \(\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\) \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}\)
5. \((\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\)
6. \(\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\) \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\)
7. \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a ; a \in \mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\) \(\left(a^{a}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^{u} \cdot \ln a\)
8. \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\) \((\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\)
9. \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a}\) \(\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}\)
10. \((\sin x)^{\prime}=\cos x\) \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)
11. \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\) \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)
12. \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\) \((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u\right)\)
13. \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-1\left(1+\cot ^{2} u\right)\) \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^{2} u}=-u^{\prime}\left(1+\cot ^{2} u\right)\)
14. \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) \((\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)
15. \((\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) \((\arccos u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)
16. \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\) \((\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\)
17. \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}\) \((\operatorname{arccot} u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{1+u^{2}}\)
3. Bài toán đạo hàm
3.1 Đạo hàm chứng minh đẳng thức
PHƯƠNG PHÁP:
- Tính đạo hàm của hàm số đã cho
- Thay \(y, y^{\prime}\) vào biểu thức để biến đổi chứng minh hoặc giải phương trìntrình liên quan.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y=\tan x\). Chưng minh \(y^{\prime}-y^{2}-1=0\).
Điều kiện xác định của hàm số là \(x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\)
Ta có \(y^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\)
Khi đó \(y^{\prime}-y^{2}-1=1+\tan ^{2} x-\tan ^{2} x-1=0\)(đpcm)
Ví dụ 2. Cho hàm số \(f(x)=\sin 2 x-2 \cos x\). Giai phương trình \(f^{\prime}(x)=0\).
Ta có \(f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x+2 \sin x\).
Khi đó \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 2 \cos 2 x+2 \sin x=0 \Leftrightarrow-2 \sin ^{2} x+\sin x+1=0\)
\[\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \operatorname { s i n } x = 1 } \\{ \operatorname { s i n } x = - \frac { 1 } { 2 } }\end{array} \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in Z \\x=-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, k \in Z . \\x=\frac{7 \pi}{6}+k 2 \pi, k \in Z\end{array}\right.\right.\]Vạy phương trình \(f^{\prime}(x)=0\) có các nghiệm \(x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, x=-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, x=\frac{7 \pi}{6}+k 2 \pi\) vơi \(k \in Z\).
3.2 Giải phương trình, bất phương trình
PHƯƠNG PHÁP:
- Tính \(y^{\prime}\).
\(-\) Dùng các kiến thức đã học để rút gọn, biến đồi về phương trinh hoặc bất phương trình đã biết cách giảgiải như phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba (sử dụng máy tính cầm tay).
- Đối vơi bải toán chưmg minh bất đẵng thức thi ta biến đồi vế phức tạp thành vế đơn giản hoặc biến đồi cả hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian.
Một số bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.
Cho phưong trình \(a x^{2}+b x+c=0\left({ }^{*}\right)\) với \(a \neq 0\).
1. Nếu phurơng trình (*) có hai nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thi \(\left\{\begin{array}{l}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \\ P=x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}\end{array}\right.\).
2. Phương trình \(\left.{ }^{*}{ }^{*}\right)\) có hai nghiệm trái dấu khi và chi khi \(a c\lt 0\).
3. Phương trinh (*) có hai nghiệm durơng phân biệt khi và chi khi \(\left\{\begin{array}{l}\Delta\gt 0 \\ S=-\frac{b}{a}>0 \text {. } \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.\)
4. Phưong trình \(\left.{ }^{*}\right)\) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chi khi \(\left\{\begin{array}{l}\Delta>0 \\ S=-\frac{b}{a}\lt 0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.\).
Một số bài toán về bất phương trình bậc hai thường gặp.
Cho tam thức bậc hai \(f(x)=a x^{2}+b x+c=0\) vói \(a \neq 0\).
1. \(f(x)\gt 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta\lt 0\end{array}\right.\).
2. \(f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.\).
3. \(f(x)\lt 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\lt 0 \\ \Delta\lt 0\end{array}\right.\).
4. \(f(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\lt 0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.\).
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y=\sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}\). Chứng minh rằng \(2 y \cdot \sqrt{1+x^{2}}-y=0\).
Ta có: \(y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}=\frac{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\prime}}{2 \sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{2 \sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}}=\frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{2 \sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}} \sqrt{1+x^{2}}}=\frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}}{2 \sqrt{1+x^{2}}}\).
Do đó:
\(2 y^{\prime} \cdot \sqrt{1+x^{2}}-y=2 \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}}{2 \sqrt{1+x^{2}}} \cdot \sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}\)
\(=\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}-\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}=0\)
Vây \(2 y^{\prime} \cdot \sqrt{1+x^{2}}-y=0\).
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y=3 x+\sqrt{10-x^{2}}\). Giai phương trình \(y^{\prime}=0\).
Điều kiện: \(-\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}\left({ }^{*}\right)\).
Ta có \(y^{\prime}=3-\frac{x}{\sqrt{10-x^{2}}}\).
Khi đó,
\[\begin{array}{l}y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 3-\frac{x}{\sqrt{10-x^{2}}}=0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{10-x^{2}}=x \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\9\left(10-x^{2}\right)=x^{2}\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x \geq 0 } \\{ 1 0 x ^ { 2 } - 9 0 = 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\x= \pm 3\end{array} \Leftrightarrow x=3\right.\right. \text {. } \\\end{array}\]Vậy phương trình \(y^{\prime}=0\) có nghiệm duy nhất \(x=3\).!
Cần nhớ \(: \sqrt{A}=B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A=B^{2} .\end{array}\right.\)
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y=\frac{x^{2}+5 x-2}{x-1}\). Giai bất phương trinh \(y^{\prime}\lt 0\).
Ta có \(y^{\prime}=\frac{x^{2}-2 x-3}{(x-1)^{2}}\).
Điều kiện \(x \neq 1\left({ }^{*}\right)\).
Khi đó \(y^{\prime}\lt 0 \Leftrightarrow x^{2}-2 x-3\lt 0 \Leftrightarrow-1\lt x\lt 3\).
Đối chiếu vói điều kiện (*), bất phương trinh \(y^{\prime}\lt 0\) có tập nghiệm là \(S=(-1 ; 3) \backslash\{1\}\).
Vídụ 4. Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}\left(m^{2}-m-6\right) x^{3}-(m+2) x^{2}-4 x+m\). Tïm tham số \(m\) sao cho \(f^{\prime}(x)\lt 0, \forall x \in \mathbb{R}\).
Ta có \(f^{\prime}(x)=\left(m^{2}-m-6\right) x^{2}-2(m+2) x-4\).
- TH1: \(m^{2}-m-6=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-2 \\ m=3\end{array}\right.\).
Nếu \(m=-2\) thì \(f^{\prime}(x)=-4\lt 0, \forall x \in \mathbb{R}\). Do đó, \(m=-2\) thóa mãn bài toán.
Nếu \(m=3\) thì \(f^{\prime}(x)=-10 x-4\lt 0\) là nhị thức bậc nhất nên \(f^{\prime}(x)\) không lón hơn 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Do đó, \(m=3\) không thóa mãn bài toán.
- TH2: \(m^{2}-m-6 \neq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m \neq-2 \\ m \neq 3\end{array}\right.\).
Khi đó: \(f^{\prime}(x)\lt 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left(m^{2}-m-6\right) x^{2}-2(m+2) x-4\lt 0, \forall x \in \mathrm{R}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\lt 0 \\ \Delta^{\prime}\lt 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}-m-6\lt 0 \\ (m+2)^{2}+4\left(m^{2}-m-6\right)\lt 0\end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}-m-6\lt 0 \\ 5 m^{2}-20\lt 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-2\lt m\lt 3 \\ -2\lt m\lt 2\end{array} \Leftrightarrow-2\lt m\lt 2\right.\right.\)
Vậy, giá trị \(m\) cần tìm là \(-2 \leq m \leq 2\).
3.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Phương pháp giải GTLN & GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]
Bước 1. Tính đạo hàm \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) rồi suy ra các điểm tới hạn \(x_{1}, x_{2}, \ldots\) của hàm số \(y=f(x)\) trên \([a, b]\).
Bước 2. Tính giá trị \(f(a), f(b), f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots\)
Bước 3. So sánh tất cả các giá trị đó ta suy ra được GTLN & GTNN.
Chú ý
Để tìm GTLN và GTNN của \(y=f(x)\) trên các khoảng hay nửa khoảng ta cần phải lập bảng biến thiên.
- BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Ví dụ : Tìm GTLN & GTNN của hàm số \(y=3 x^{4}-28 x^{3}+90 x^{2}-108 x+1\) trên đoạn \([0,4]\).
Bài giải
Ta có \(\quad y^{\prime}=12 x^{3}-84 x^{2}+180 x-108\).
Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)
\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow 12 x^{3}-84 x^{2}+180 x-108=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \in[0,4] \\x=3 \in[0,4]\end{array} .\right.\end{array}\]\[\begin{array}{ll}y(0)=1, & y(1)=-42, \\y(3)=-26, & y(4)=-15 .\end{array}\]Vậy \(\quad \max _{0,4} y(x)=y(0)=1\)
và \(\min _{[0,4]} y(x)=y(1)=-42\).
3.4 Tìm cực trị và khoảng tăng giảm
Phương pháp tìm cực trị, khoảng tăng giảm
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên tập xác định \(D\) (có thế trừ ra hữu hạn điểm). Đế khảo sát tính đơn điệu và tìm cưc trị của \(f(x)\) ta tiến hành các bước sau:
Bước 1. Tính đạo hàm \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\).
Bước 2. Tìm tất cả các điểm tới hạn \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in D\). (điểm tới hạn là điểm mà tại đó \(f^{\prime}(x)=0\) hoặc \(f^{\prime}(x)\) không xác định)
Bước 3. Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm
Cách 1. Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm \(f^{\prime}(x)\).
Cách 2. Dùng đạo hàm cấp 2- \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \\ f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\gt 0\end{array} \longrightarrow f\right.\) đạt cưc tiểu tại điểm \(x_{0}\).- \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \\ f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\lt 0\end{array} \Longrightarrow f\right.\) đạt cưc đại tại điểm \(x_{0}\).
\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\gt 0\) trên khoảng \((a, b)\) thì \(f(x)\) tăng (đồng biến) trên khoảng đó.
\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\lt 0\) trên khoảng \((a, b)\) thì \(f(x)\) giảm (nghịch biến) trên khoảng đó.
\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\) đối dấu từ âm sang durong khi \(x\) vươt qua \(x_{0}\) thì \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_{0}\).
\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\) đối dấu từ duơng sang âm khi \(x\) vượt qua \(x_{0}\) thì \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_{0}\).
- BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Ví dụ 1 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=x^{4}-4 x^{3}+5\).
Bài giải
\(\checkmark\) Miên xác định \(D=\mathbb{R}\).\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=4 x^{3}-12 x^{2}=4 x^{2}(x-3)\).Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)
\[\Leftrightarrow 4 x^{2}(x-3)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=3 .\]\(\checkmark\) Bảng biến thiên
Vậy
- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \(y\) tăng trên \((3,+\infty)\).
- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=3\) với
\[y_{c T}=y(3)=-22 .\]Ví dụ 2 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=\frac{x^{2}-3}{x^{3}}\).
Bài giải
\(\checkmark\) Miền xác định \(D=\mathbb{R} \backslash\{0\}\).
\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=\frac{2 x \cdot x^{3}-3 x^{2}\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}\)
\[\begin{array}{l}=\frac{2 x^{4}-3 x^{4}+9 x^{2}}{x^{6}} \\=\frac{9-x^{2}}{x^{4}} .\end{array}\]Do đó \(\quad y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 9-x^{2}=0\)
\[\Leftrightarrow x=3 \vee x=-3 \text {. }\]Vậy
- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \((3,+\infty)\), \(y\) tăng trên \((-3,0)\) và \((0,3)\).
- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=-3\) với \(y_{C T}=y(-3)=-\frac{2}{9}\) và đạt cực đại tại \(\dot{x} \cdot 3\) với \(y_{C D}=y(3)=\frac{2}{9}\).
4. Bảng tổng hợp kiến thức
5. Bí quyết đạt 9+ trong các kỳ thi
Examon cũng đã trải qua giai đoạn không biết bắt đầu từ đâu và như thế nào. Vậy nên hôm nay Examon sẽ giúp bạn. Phương pháp muốn giới thiệu đến bạn là luyện đề. Luyện đề càng nhiều và đúng cách thì bạn sẽ bứt phá được số điểm hiện tại của bạn. Nhưng điều quan trọng là không phải bộ đề nào bạn cũng luyện được. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!