Đạo hàm - Ứng dụng vào bài toán liên quan

1. Quy tắc cơ bản

Giả sử \(u=u(x), v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định.

Ta có:

1. \((k \cdot u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}\) \(k\) là hằng số;

2. \((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\) Đạo hàm của một tống;

3. \((u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\) Đạo hàm của một tích;

4. \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, v \neq 0\) Đạo hàm của một thương.

2. Công thức đạo hàm

Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp \(u=u(x)\)

1. \((C)^{\prime}=0, C\) là hằng số

2. \((x)^{\prime}=1\)

3. \(\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}\) \(\left(u^{a}\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{a-1} \cdot u^{\prime}\)

4. \(\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\) \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}\)

5. \((\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\)

6. \(\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\) \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\)

7. \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a ; a \in \mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\) \(\left(a^{a}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^{u} \cdot \ln a\)

8. \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\) \((\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\)

9. \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a}\) \(\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}\)

10. \((\sin x)^{\prime}=\cos x\) \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)

11. \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\) \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)

12. \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\) \((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u\right)\)

13. \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-1\left(1+\cot ^{2} u\right)\) \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^{2} u}=-u^{\prime}\left(1+\cot ^{2} u\right)\)

14. \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) \((\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

15. \((\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) \((\arccos u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

16. \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\) \((\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

17. \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}\) \((\operatorname{arccot} u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

3. Bài tập ứng dụng

3.1 Dạng 1: Tìm cực trị và khoảng tăng giảm

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa

Hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trong lân cận \(\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right)\) của điếm \(x_{0}\), khi đó vói mọi \(x \in\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right)\)

Giá trị của hàm \(f\) trong lân cận điểm \(x_{0}\) Kết luận về hàm \(f\) tại điểm \(x_{0}\)

\(f(x) \leq f\left(x_{0}\right)\) \(x_{0}\) là điểm cực đại và \(f_{C D}=f\left(x_{0}\right)\)

\(f(x) \geq f\left(x_{0}\right)\) \(x_{0}\) là điểm cực tiểu và \(f_{C T}=f\left(x_{0}\right)\) Điểm cực đại và điểm cực tiếu được gọi chung là diểm cưc trị của hàm số.\(f_{C D}, f_{C T}\) : gọi chung là cưc trị hàm số.

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Hàm số \(y=f(x)\) giảm trên khoảng \((a, b)\) nếu \(x_{1}\lt x_{2}\) thì \(f\left(x_{1}\right)\gt f\left(x_{2}\right)\) với mọi \(x_{1}, x_{2} \in(a, b)\).

Hàm số \(y=f(x)\) tăng trên khoảng \((a, b)\) nếu \(x_{1}\lt x_{2}\) thì \(f\left(x_{1}\right)\lt f\left(x_{2}\right)\) với mọi \(x_{1}, x_{2} \in(a, b)\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a, b)\).

\(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) Kết luận về hàm \(f\) trên khoảng \((a, b)\)

\(f^{\prime}(x)\gt 0, \forall x \in(a, b)\) Tăng

\(f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in(a, b)\) Không giảm

\(f^{\prime}(x)\lt 0, \forall x \in(a, b)\) Giảm

\(f^{\prime}(x) \leq 0, \forall x \in(a, b)\) Không tăn

Phương pháp tìm cực trị, khoảng tăng giảm

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên tập xác định \(D\) (có thế trừ ra hữu hạn điểm). Đế khảo sát tính đơn điệu và tìm cưc trị của \(f(x)\) ta tiến hành các bước sau:

Bước 1. Tính đạo hàm \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\).

Bước 2. Tìm tất cả các điểm tới hạn \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in D\).(điểm tới hạn là điểm mà tại đó \(f^{\prime}(x)=0\) hoặc \(f^{\prime}(x)\) không xác định)

Bước 3. Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm

Cách 1. Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm \(f^{\prime}(x)\).

Cách 2. Dùng đạo hàm cấp 2- \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \\ f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\gt 0\end{array} \longrightarrow f\right.\) đạt cưc tiểu tại điểm \(x_{0}\).- \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \\ f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\lt 0\end{array} \Longrightarrow f\right.\) đạt cưc đại tại điểm \(x_{0}\).

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\gt 0\) trên khoảng \((a, b)\) thì \(f(x)\) tăng (đồng biến) trên khoảng đó.

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\lt 0\) trên khoảng \((a, b)\) thì \(f(x)\) giảm (nghịch biến) trên khoảng đó.

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\) đối dấu từ âm sang durong khi \(x\) vươt qua \(x_{0}\) thì \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_{0}\).

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\) đối dấu từ duơng sang âm khi \(x\) vượt qua \(x_{0}\) thì \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_{0}\).

BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Ví dụ 1 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=x^{4}-4 x^{3}+5\).

Bài giải

\(\checkmark\) Miên xác định \(D=\mathbb{R}\).\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=4 x^{3}-12 x^{2}=4 x^{2}(x-3)\).Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)

\[\Leftrightarrow 4 x^{2}(x-3)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=3 .\]

\(\checkmark\) Bảng biến thiên

Vậy

- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \(y\) tăng trên \((3,+\infty)\).

- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=3\) với

\[y_{c T}=y(3)=-22 .\]

Ví dụ 2 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=\frac{x^{2}-3}{x^{3}}\).

Bài giải

\(\checkmark\) Miền xác định \(D=\mathbb{R} \backslash\{0\}\).

\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=\frac{2 x \cdot x^{3}-3 x^{2}\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}\)

\[\begin{array}{l}=\frac{2 x^{4}-3 x^{4}+9 x^{2}}{x^{6}} \\=\frac{9-x^{2}}{x^{4}} .\end{array}\]

Do đó \(\quad y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 9-x^{2}=0\)

\[\Leftrightarrow x=3 \vee x=-3 \text {. }\]

Vậy

- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \((3,+\infty)\), \(y\) tăng trên \((-3,0)\) và \((0,3)\).

- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=-3\) với \(y_{C T}=y(-3)=-\frac{2}{9}\) và đạt cực đại tại \(\dot{x} \cdot 3\) với \(y_{C D}=y(3)=\frac{2}{9}\).

3.2 Dạng 2: Tìm GTLN & GTNN

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Định nghĩa:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập \(D\).

\(\checkmark\) Số \(M\) được gọi là giá trị lón nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \(D\) nếu

\[\left\{\begin{array}{l}\forall x \in D: f(x) \leq M \\\exists x_{1} \in D: f\left(x_{1}\right)=M\end{array}\right.\]

Ký hiệu: \(M=\max _{D} f(x)\)

\(\checkmark\) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \(D\) nếu

\[\left\{\begin{array}{l}\forall x \in D: f(x) \geq m \\\exists x_{2} \in D: f\left(x_{2}\right)=m\end{array}\right.\]

Ký hiệu: \(m=\min _{D} f(x)\)

\(\checkmark\) Đoạn \([m, M]\) gọi là miền giá trị của hàm số \(y=f(x)\).

Phương pháp giải GTLN & GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]

Bước 1. Tính đạo hàm \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) rồi suy ra các điểm tới hạn \(x_{1}, x_{2}, \ldots\) của hàm số \(y=f(x)\) trên \([a, b]\).

Bước 2. Tính giá trị \(f(a), f(b), f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots\)

Bước 3. So sánh tất cả các giá trị đó ta suy ra được GTLN & GTNN.

Chú ý

Để tìm GTLN và GTNN của \(y=f(x)\) trên các khoảng hay nửa khoảng ta cần phải lập bảng biến thiên.

BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Ví dụ : Tìm GTLN & GTNN của hàm số \(y=3 x^{4}-28 x^{3}+90 x^{2}-108 x+1\) trên đoạn \([0,4]\).

Bài giải

Ta có \(\quad y^{\prime}=12 x^{3}-84 x^{2}+180 x-108\).

Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)

\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow 12 x^{3}-84 x^{2}+180 x-108=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \in[0,4] \\x=3 \in[0,4]\end{array} .\right.\end{array}\]\[\begin{array}{ll}y(0)=1, & y(1)=-42, \\y(3)=-26, & y(4)=-15 .\end{array}\]

Vậy \(\quad \max _{0,4} y(x)=y(0)=1\)

và \(\min _{[0,4]} y(x)=y(1)=-42\).

3.3 Dạng 3: Ứng dụng vào thực tế

Bài toán 1. Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được \(N\) lô hàng nếu tiêu phí hết số tiền là \(x\) (triệu đồng) vào việc quảng cáo. Biết rằng \(N\) và \(x\) liên hệ với nhau bằng biểu thức \(N(x)=-x^{2}+30 x+6,0 \leq x \leq 30\). Hãy tìm số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo và số tiền đã dành cho việc quảng cao đó ?

Huớng dẫn giải.

Ta có: \(N(x)=-x^{2}+30 x+6 \Rightarrow N^{\prime}(x)=-2 x+30 \Rightarrow N^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=15\)Đồng thời \(\left\{\begin{array}{l}N(0)=6 \\ N(15)=231 \\ N(30)=6\end{array} \Rightarrow \max _{x \in[0 ; 30]} N(x)=231 \Leftrightarrow x=15\right.\).

Vậy, nếu công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.

Bài toán 2. Một nguồn điện với suất điện động \(E\) và điện trở \(r\) được nối với một biến trờ \(R\) như hình vẽ. Với giá trị nào của biến trờ thì công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch sẽ đạt cực đại ?

A. \(r=R\).

B. \(r=2 R\).

C. \(r=3 R\).

D. \(r=4 R\).

Phân tích:

- Để làm đượđược dang toán này, trước tiên ta cần có kiến thúc về dòng điện 1 chiều đãa học ờ lớp duoơit: công suất tòa nhiệt trên toàn mạch sẽ là \(P=R I^{2}\) và đồng thời cuờng âộ dòng điện trong mach sẽ là \(I=\frac{E}{R+r}\).

- Đến đây ta thấy \(P\) có thể tính theo \(R\) và r. Và do đó ta có thể vận dụng kiến thúc về đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cùa biểu thúc P.

Hướng dẫn giải:

Theo công thức công suất tỏa nhiệt ta có \(P=R I^{2}\) với \(I=\frac{E}{R+r}\)

\(\Rightarrow P=\frac{R E^{2}}{(R+r)^{2}}(R\gt 0)\). Xét hàm số \(f(R)=\frac{R E^{2}}{(R+r)^{2}}\) với \(R>0\)

Ta tìm \(f^{\prime}(R)=E^{2} \frac{(R+r)^{2}-2 R(R+r)}{(R+r)^{4}}=E^{2} \frac{r-R}{(R+r)^{3}}, f^{\prime}(R)=0 \Leftrightarrow r=R\)

Lập bảng biến thiên ta có:

suy ra \(\max f(R)=f(r)=\frac{E^{2}}{4 r}\). Ta chọn đáp án A.

4. Lấy gốc đạo hàm như thế nào?

Examon sẽ chia sẻ cho bạn một cách lây gốc cực kì dễ dàng đó là luyện đề.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon