ĐẠO HÀM: Công cụ VÀNG trong giải toán

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a ; b)\) và \(x_{0} \in(a ; b)\).Nếu tồn tại giới hạn (hứu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_{0}\) và kí hiệu là \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\) (hoặc \(y^{\prime}\left(x_{0}\right)\) ), tức là

Đại lượng \(\Delta x=x-x_{0}\) : gọi là số gia của biến số tại \(x_{0}\).

Đại lượng \(\Delta y=f(x)-f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\) : gọi là số gia của hàm số.

• Tính đạo hàm bằng định nghĩnghĩa

- Giả sử \(\Delta x=x-x_{0}\) là số gia của biến số tại \(x_{0}\).

         Ta tính số gia của hàm số \(\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\).

- Lập ti số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).

- Tính 

• Các quy tắc cơ bản trong đạo hàm

Giả sử \(u=u(x), v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định.

Ta có:

1. \((k \cdot u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}\)              \(k\) là hằng số;

2. \((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\)         Đạo hàm của một tống;

3. \((u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\)       Đạo hàm của một tích;

4. \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, v \neq 0\)   Đạo hàm của một thương.

Cho đồ thị \(\left( C \right ) : y = f{\left( x \right )} , M \left( x_{0} ; y_{0} \right ) \in \left( C \right )\). Phương trình tiếp tuyến \(f^{'}{\left( x_{0} \right )} = k\) với

 \(\Delta : y = y^{'} \left( x_{0} \right ) \left( x - x_{0} \right ) + y_{0}\) tại \(\left( C \right )\) là \(\left( y_{0} = f{\left( x_{0} \right )} \right )\)

Trong đó \(\Delta\) là tọa độ tiếp điểm \(M \left( x_{0} ; y_{0} \right )\).

\(\left( k = y^{'} \left( x_{0} \right ) = f^{'}{\left( x_{0} \right )} \right )\) là hệ số góc của tiếp tuyến \(M\).

 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa 

Hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trong lân cận \(\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right)\) của điếm \(x_{0}\), khi đó vói mọi \(x \in\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right)\)

Giá trị của hàm \(f\) trong lân cận điểm \(x_{0}\)        Kết luận về hàm \(f\) tại điểm \(x_{0}\)

       \(f(x) \leq f\left(x_{0}\right)\)                                       \(x_{0}\) là điểm cực đại và \(f_{C D}=f\left(x_{0}\right)\)

       \(f(x) \geq f\left(x_{0}\right)\)                                       \(x_{0}\) là điểm cực tiểu và \(f_{C T}=f\left(x_{0}\right)\)  Điểm cực đại và điểm cực tiếu được gọi chung là diểm cưc trị của hàm số.\(f_{C D}, f_{C T}\) : gọi chung là cưc trị hàm số.

• TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Hàm số \(y=f(x)\) giảm trên khoảng \((a, b)\) nếu \(x_{1}\lt x_{2}\) thì \(f\left(x_{1}\right)\gt f\left(x_{2}\right)\) với mọi \(x_{1}, x_{2} \in(a, b)\).

Hàm số \(y=f(x)\) tăng trên khoảng \((a, b)\) nếu \(x_{1}\lt x_{2}\) thì \(f\left(x_{1}\right)\lt f\left(x_{2}\right)\) với mọi \(x_{1}, x_{2} \in(a, b)\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a, b)\).

            \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\)                                  Kết luận về hàm \(f\) trên khoảng \((a, b)\)

     \(f^{\prime}(x)\gt 0, \forall x \in(a, b)\)                                     Tăng

      \(f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in(a, b)\)                                    Không giảm 

      \(f^{\prime}(x)\lt 0, \forall x \in(a, b)\)                                    Giảm

      \(f^{\prime}(x) \leq 0, \forall x \in(a, b)\)                                   Không tăn

Phương pháp tìm cực trị, khoảng tăng giảm

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên tập xác định \(D\) (có thế trừ ra hữu hạn điểm). Đế khảo sát tính đơn điệu và tìm cưc trị của \(f(x)\) ta tiến hành các bước sau:

 Bước 1. Tính đạo hàm \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\).

Bước 2. Tìm tất cả các điểm tới hạn \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in D\).(điểm tới hạn là điểm mà tại đó \(f^{\prime}(x)=0\) hoặc \(f^{\prime}(x)\) không xác định)

Bước 3. Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm

Cách 1. Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm \(f^{\prime}(x)\).

Cách 2. Dùng đạo hàm cấp 2- \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \\ f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\gt 0\end{array} \longrightarrow f\right.\) đạt cưc tiểu tại điểm \(x_{0}\).- \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \\ f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\lt 0\end{array} \Longrightarrow f\right.\) đạt cưc đại tại điểm \(x_{0}\).

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\gt 0\) trên khoảng \((a, b)\) thì \(f(x)\) tăng (đồng biến) trên khoảng đó.

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\lt 0\) trên khoảng \((a, b)\) thì \(f(x)\) giảm (nghịch biến) trên khoảng đó.

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\) đối dấu từ âm sang durong khi \(x\) vươt qua \(x_{0}\) thì \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_{0}\).

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\) đối dấu từ duơng sang âm khi \(x\) vượt qua \(x_{0}\) thì \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_{0}\).

• BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Ví dụ 1 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=x^{4}-4 x^{3}+5\).

Bài giải

\(\checkmark\) Miên xác định \(D=\mathbb{R}\).\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=4 x^{3}-12 x^{2}=4 x^{2}(x-3)\).Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)

\(\checkmark\) Bảng biến thiên

Vậy

- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \(y\) tăng trên \((3,+\infty)\).

- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=3\) với

Ví dụ 2 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=\frac{x^{2}-3}{x^{3}}\).

Bài giải

\(\checkmark\) Miền xác định \(D=\mathbb{R} \backslash\{0\}\).

\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=\frac{2 x \cdot x^{3}-3 x^{2}\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}\)

Do đó \(\quad y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 9-x^{2}=0\)

Vậy 

- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \((3,+\infty)\), \(y\) tăng trên \((-3,0)\) và \((0,3)\).

- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=-3\) với \(y_{C T}=y(-3)=-\frac{2}{9}\) và đạt cực đại tại \(\dot{x} \cdot 3\) với \(y_{C D}=y(3)=\frac{2}{9}\).

• GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Định nghĩa:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập \(D\).

\(\checkmark\) Số \(M\) được gọi là giá trị lón nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \(D\) nếu

Ký hiệu: \(M=\max _{D} f(x)\)

\(\checkmark\) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \(D\) nếu

Ký hiệu: \(m=\min _{D} f(x)\)

\(\checkmark\) Đoạn \([m, M]\) gọi là miền giá trị của hàm số \(y=f(x)\).

Phương pháp giải GTLN & GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]

Bước 1. Tính đạo hàm \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) rồi suy ra các điểm tới hạn \(x_{1}, x_{2}, \ldots\) của hàm số \(y=f(x)\) trên \([a, b]\).

Bước 2. Tính giá trị \(f(a), f(b), f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots\)

Bước 3. So sánh tất cả các giá trị đó ta suy ra được GTLN & GTNN.

Chú ý

Để tìm GTLN và GTNN của \(y=f(x)\) trên các khoảng hay nửa khoảng ta cần phải lập bảng biến thiên.

• BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Ví dụ : Tìm GTLN & GTNN của hàm số \(y=3 x^{4}-28 x^{3}+90 x^{2}-108 x+1\) trên đoạn \([0,4]\).

Bài giải

Ta có \(\quad y^{\prime}=12 x^{3}-84 x^{2}+180 x-108\).

Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)

Vậy \(\quad \max _{0,4} y(x)=y(0)=1\)

và \(\min _{[0,4]} y(x)=y(1)=-42\).

PHƯƠNG PHÁP:

- Bước 1. Tính \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) và tính hệ số góc \(k=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\)

- Bước 2. Phương trình tiếp tuyến dạng: \(y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\).

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) tại \(M(0 ; 1)\) thuộc đồ thị \((C): y=2 x^{3}-6 x+1\).

Lời giảgiải

- Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

- Ta có, \(y^{\prime}=6 x^{2}-6 \Rightarrow\) hệ số góc là \(k=y^{\prime}(0)=-6\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(\Delta: y=y^{\prime}(0)(x-0)+1 \Rightarrow \Delta: y=-6 x+1\).

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) tại điểm \(M(1 ;-1)\) thuộc \((C): y=3 x^{3}-5 x^{2}+1\).

Lời giải

- Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)

- Ta có, \(y^{\prime}=9 x^{2}-10 x \Rightarrow\) hệ số góc là \(k=y^{\prime}(1)=-1\)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(\Delta: y=-1(x-1)-1 \Rightarrow \Delta: y=-x\).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) tại điểm \(M(1 ; 1)\) thuộc \((C): y=2 x^{3}-6 x+1\).

Lời giải

- Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)- Ta có, \(y^{\prime}=6 x^{2}-6 \Rightarrow\) hệ số góc là \(k=y^{\prime}(1)=0\)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(\Delta: y=1\).

PHƯƠNG PHÁP

- Gọi \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right) \in(C)\) là tiếp điểm.

- Ta có \(k=y^{\prime}\left(x_{0}\right)=a\), giải phương trình \(y^{\prime}\left(x_{0}\right)=a \Rightarrow x_{0} \Rightarrow y_{0}\). 

Nhắc lại:

o \(d_{1}: y=a_{1} x+b_{1} \Rightarrow k_{d_{1}}=a_{1}\)

о \(d_{1}: y=a_{1} x+b_{1} \Rightarrow k_{d_{1}}=a_{1}\)

o \(d_{1} / / d_{2} \Rightarrow k_{d_{1}}=k_{d_{2}} \Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\)

о \(d_{1} \perp d_{2} \Rightarrow k_{d_{1}} \cdot k_{d_{2}}=-1 \Leftrightarrow a_{1} \cdot a_{2}=-1\)

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hàm số \(y=\frac{x}{x+1}\) có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) với \((C)\) biết hệ số góc \(k=1\).

Lời giải

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)

Gọi \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right)\) là tiếp điểm \(\Rightarrow y^{\prime}\left(x_{0}\right)=k\)

Ta có: \(y^{\prime}=\frac{1}{(x+1)^{2}} \Rightarrow k=\frac{1}{\left(x_{0}+1\right)^{2}}=1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_{0}=0 \Rightarrow y_{0}=0 \Rightarrow M_{1}(0 ; 0) \\ x_{0}=-2 \Rightarrow y_{0}=2 \Rightarrow M_{2}(-2 ; 2)\end{array}\right.\)Phương trình tiếp tuyến tại \(M_{1}\) là \(\Delta_{1}: y=1(x-0)+0 \Leftrightarrow y=x\)

Phương trình tiếp tuyến tại \(M_{1}\) là \(\Delta_{2}: y=1(x+2)+2 \Leftrightarrow y=x+4\).

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến \((\Delta)\) của đồ thị \((C): y=x^{3}-3 x+2\), biết tiếp tuyến song song với \((d): y=3 x-2\).

Lời giải

Gọi \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right) \in(C)\) là tọa độ tiếp điểm của \((\Delta)\) với \((C)\).

Ta có \(y^{\prime}=2 x-3\).

 Vì \((\Delta) \|(d) \Rightarrow y^{\prime}\left(x_{0}\right)=3 \Leftrightarrow 2 x_{0}-3=3 \Leftrightarrow x_{0}=3 \Rightarrow y_{0}=2 \Rightarrow M(3 ; 2)\).

Phương trình tiếp tuyến \((\Delta)\) tại điểm M là \((\Delta): y=3(x-3)+2=3 x-7\).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của đồ thị \((C): y=x^{2}-x+2\), biết \(\Delta\) vuông góc với \((d): 5 y=-x+300\)

Lời giải

Ta có \(5 y=-x+300 \Leftrightarrow y=-\frac{1}{5} x+600\)

\(\Rightarrow\) hệ số góc của đường thẳng \((d)\) là \(k_{d}=-\frac{1}{5}\).

Ta có \(y^{\prime}=2 x-1\). Gọi \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến \(\Delta\).

Vì \(\Delta \perp(d) \Leftrightarrow f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot k_{d}=-1 \Leftrightarrow k_{d} \cdot\left(2 x_{0}-1\right)=-1 \Leftrightarrow 2 x_{0}-1=5 \Leftrightarrow x_{0}=3\)

Phương trình tiếp tuyến \((\Delta): y=5(x-3)+8=5 x-7\).