ĐẠO HÀM - Cơ bản và Cấp cao

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a ; b)\) và \(x_{0} \in(a ; b)\).Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_{0}\) và kí hiệu là \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\) (hoặc \(y^{\prime}\left(x_{0}\right)\) ), tức là

• Các quy tắc cơ bản trong đạo hàm

Giả sử \(u=u(x), v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định.

Ta có:

1. \((k \cdot u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}\)              \(k\) là hằng số;

2. \((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\)         Đạo hàm của một tống;

3. \((u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\)       Đạo hàm của một tích;

4. \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, v \neq 0\)   Đạo hàm của một thương.

ĐỊNH NGHĨA

Giả sử hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f^{\prime}(x)\)

• Đạo hàm của hàm số f'(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu là y" hay f"(x).
• Đạo hàm của hàm số f" (x), nếu có, được gọi là đạo hàm câp ba của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là y" hay f"'(x).
• Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp ( \(n-1)\) được gọi là đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(y=f(x)\), kí hiệu là \(y^{(n)}\) hay \(f^{(n)}(x)\)

\(f^{(n)}(x)=\left[f^{(n-1)}(x)\right]^{\prime}\), với \(\mathrm{n}\) thuộc \(\mathrm{Z}\) và \(\mathrm{n}\gt =2\)

Đạo hàm của hàm sơ cấp                                   Đạo hàm của hàm hợp \(u=u(x)\)

1. \((C)^{\prime}=0, C\) là hằng số

2. \((x)^{\prime}=1\)

3. \(\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}\)                                             \(\left(u^{a}\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{a-1} \cdot u^{\prime}\)  

4. \(\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\)                                                   \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}\)

5. \((\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)                                                  \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\)

6. \(\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\)                                                        \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\)

7. \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a ; a \in \mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\)                       \(\left(a^{a}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^{u} \cdot \ln a\)

8. \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\)                                                      \((\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\)

9. \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a}\)                                             \(\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}\)

10. \((\sin x)^{\prime}=\cos x\)                                              \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)

11. \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\)                                          \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)

12. \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\)             \((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u\right)\)

13. \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-1\left(1+\cot ^{2} u\right)\)          \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^{2} u}=-u^{\prime}\left(1+\cot ^{2} u\right)\)

14. \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)                                      \((\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

15. \((\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)                                      \((\arccos u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

16. \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\)                                        \((\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

17. \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}\)                                        \((\operatorname{arccot} u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

\(\begin{array}{l}\left(x^{m}\right)^{(n)}=m(m-1) \ldots(m-n+1) \cdot x^{m-n} . \\ (\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}} . \\ \left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x} \cdot \ln ^{n} a, \text { với a }\gt 0 . \\ (\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+n \frac{\pi}{2}\right) . \\ (\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+n \frac{\pi}{2}\right) \\ \left(e^{x}\right)^{(n)}=e^{x} . \\ \left(\frac{1}{x}\right)^{(n)}=(-1)^{n} \cdot n!. x^{-n-1} .\end{array}\)

Công thức Lepnit

Nếu u và v là các hàm khả vi \(\mathrm{n}\) lần thì: \((u v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} u^{(k)} \cdot v^{(n-k)}\). 

với \(C_{n}^{k}\) kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử:

PHƯƠG PHÁP:

- Cần nhớ công thức: \(f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\)

- Phương pháp tính giới hạn của hàm số

VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Cho hàm số \(f(x)=2 x^{2}+x+1\). Tính \(f^{\prime}(2)\) ?

Lời giải

Ta có \(f^{\prime}(2)=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{2}+x+1-11}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(2 x+5)}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2}(2 x+5)=9\)

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y=x^{3}-2 x+1\). Tính \(y^{\prime}(2)\) ?

Lời giải

Ta có \(y^{\prime}(2)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{y(x)-y(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-2 x+1-0}{x-1}\)\(=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)\left(x^{2}+x-1\right)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+x-1\right)=1\).

Các công thức tính nhanh:

\(\begin{array}{l}+\left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^{2}} \\ +\left(\frac{a x^{2}+b x+c}{d x+e}\right)^{\prime}=\frac{a d x^{2}+2 a e x+(b e-c d)}{(d x+e)^{2}} \\ +\left(\frac{a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}}{a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{cc}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2}\end{array}\right| x^{2}+2\left|\begin{array}{ll}a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2}\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2}\end{array}\right|}{\left(a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}\right)^{2}}\end{array}\)

 Ví dụ 1 Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số \(y=\ln (\sin x)\).

Bài giải,

Ví dụ 2 Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số \(y=x^{4}-4 x^{3}+5 x^{2}+2 x-4\).

Bài giải

Chú ý: \(\quad y^{(n)}=0\) vói \(n\gt 4\).