Công thức tổng n số hạng của cấp số nhân

Khuất Duyên

Examon đã tổng hợp từ A đến Z về cách tính tổng cấp số nhân. Còn chần chừ gì mà không tham khảo ngay.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Lý thuyết
  • 2. Công thức
  • 3. Ví dụ minh họa
    • 3.1 Ví dụ 1
    • 3..2 Ví dụ 2
  • 4. Bài tập củng cố
    • 4.1 Bài 1
    • 4.2 Bài 2
    • 4.3 Bài 3
  • 5. Bứt phá điểm số cùng Examon

Nếu bạn không biết hay chưa vững về cách tính tổng n số hạng của cấp số nhân thì sau khi đọc song bài viết này bạn sẽ có thể giải bài một cách dễ dàng. Bài viết này bao gồm đầy đủ từ lý thuyết đến bài tập về cấp số nhân để cho các bạn dễ dàng tiếp cận kiến thức và ghi nhớ nhanh hơn. 

banner

1. Lý thuyết

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

\[\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{u}_{1}+\mathrm{u}_{2}+\ldots+\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{u}_{1}\left(1-\mathrm{q}^{\mathrm{n}}\right)}{1-\mathrm{q}} \text {. }\]

Trong đó, \(u_{1}\) là số hạng đầu tiên, q là công bội của cấp số nhân.Chú ý: Nếu q \(=1\) thì cấp số nhân là \(u_{1} ; u_{1} ; u_{1} ; \ldots u_{1} ; .\). khi đó \(s_{n}=\) n. \(u_{1}\).

2. Công thức

- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên:

 \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\).

- Công thức tính nhanh tổng:

\[\mathrm{S}=9+99+999+\ldots+\underbrace{999 \ldots 9}_{\mathrm{n} \text { so }}=\frac{10\left(10^{\mathrm{n}}-1\right)}{9}-\mathrm{n}\]

3. Ví dụ minh họa

3.1 Ví dụ 1

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{2}=10\) và \(u_{5}=1250\).

a) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

b) Tính tổng \(S=u_{1}+u_{3}+u_{5}+u_{7}+\ldots+u_{99}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\[\left\{\begin{array} { l } { u _ { 2 } = 1 0 } \\{ u _ { 5 } = 1 2 5 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } q = 1 0 } \\{ u _ { 1 } q ^ { 4 } = 1 2 5 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { q ^ { 3 } = 1 2 5 = 5 ^ { 3 } } \\{ u _ { 1 } q = 1 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}q=5 \\u_{1}=2\end{array}\right.\right.\right.\right.\]

Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

\[S_{20}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{2 \cdot\left[1-5^{20}\right]}{1-5}=\frac{1}{2} \cdot\left(5^{20}-1\right)\]

b) Dãy số \(u_{1} ; u_{3} ; u_{5} ; u_{7} ; \ldots\)\(\mathbf{u}_{99}\)  là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là \(u_{1}=2\) và công bội .

Dãy số đó có: \(\frac{99-1}{2}+1=50\) số hạng

\(S=u_{1}+u_{3}+u_{5}+u_{7}+\ldots+u_{99}\)

\(=\frac{2\left(1-25^{50}\right)}{1-25}=\frac{1}{12} \cdot\left(25^{50}-1\right)=\frac{1}{12} \cdot\left(5^{100}-1\right)\).

3..2 Ví dụ 2

Tính tổng: \(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=1+11+111+\ldots+\underbrace{11 \ldots 1}_{\mathrm{n} \text { so } 1}\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}S_{n}=1+11+111+\ldots+\underbrace{11 \ldots 1}_{n \text { so } 1} \\ =\frac{1}{9}(9+99+999+\ldots+\underbrace{99 \ldots 9}_{n=09}) \\ =\frac{1}{9}\left(10-1+10^{2}-1+10^{3}-1+\ldots+10^{\mathrm{n}}-1\right) \\ =\frac{1}{9}\left[\left(10+10^{2}+10^{3}+\ldots+10^{\mathrm{n}}\right)-\mathrm{n}\right] \\ =\frac{1}{9}\left(\frac{10 \cdot\left(1-10^{\mathrm{n}}\right)}{1-10}-\mathrm{n}\right) \\ =\frac{10\left(10^{n}-1\right)}{81}-\frac{1}{9} n . \\\end{array}\)

Examon.png
Luyện thi cấp tốc cùng Examon 

4. Bài tập củng cố

4.1 Bài 1

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) thỏa mãn: \(u_{1}=4 ; q=2\) và \(S_{n}=2044\). Tính \(S_{2 n}\) ?

A. 4088

B. 16352

C. \(4\left(2^{12}-1\right)\)

D. \(4\left(2^{18}-1\right)\)

Lời giải chi tiết

*Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của dãy là:

\[\begin{array}{l}S_{n}=\frac{4 \cdot\left(2^{n}-1\right)}{2-1}=2044 \\\Leftrightarrow 2^{n}-1=511 \Leftrightarrow 2^{n}=512 \Leftrightarrow n=9 . \\* \text {} S_{18}=\frac{4 \cdot\left(2^{18}-1\right)}{2-1}=4 \cdot\left(2^{18}-1\right)\end{array}\]

Chọn D

4.2 Bài 2

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) thỏa mãn. \(\left\{\begin{array}{c}u_{4}=\frac{1}{27} \\ u_{3}=243 u_{8}\end{array}\right.\). Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân?

A. \(\frac{2}{3} \cdot\left[1-3^{19}\right]\)

B. \(\frac{2}{3} \cdot\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\right]\)

C. \(\frac{3}{2} \cdot\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\right]\)

D. \(\frac{3}{2} \cdot\left[1-3^{20}\right]\)

Lời giải chi tiết

Gọi q là công bội của cấp số nhân. Theo giả thiết ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array} { l } { u _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 7 } } \\{ u _ { 3 } = 2 4 3 u _ { 8 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}u_{1} \cdot q^{3}=\frac{1}{27} \\u_{1} \cdot q^{2}=243 u_{1} \cdot q^{7}\end{array}\right.\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} \cdot q^{3}=\frac{1}{27} \\q^{2}=243 q^{7}\end{array}\left(\text {} u_{1} \neq 0\right)\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } \cdot q ^ { 3 } = \frac { 1 } { 2 7 } } \\{ 1 = 2 4 3 q ^ { 5 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\q=\frac{1}{3}\end{array}\right.\right.\end{array}\]

Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:

\[S_{20}=u_{1} \cdot \frac{1-q^{20}}{1-q}=1 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{20}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2} \cdot\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\right]\]

Chọn C

4.3 Bài 3

Tính tổng \(S_{n}=3+3^{2}+3^{3}+\ldots .+3^{n}\)

A. \(\frac{3}{2} \cdot\left(3^{n}-1\right)\)

B. \(\frac{2}{3} \cdot\left(3^{n}-1\right)\)

C. \(\frac{2}{3} \cdot\left(1-3^{n}\right)\)

D. \(3\left(3^{n}-1\right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số \(3 ; 3^{2}, 33^{3} 3 ;\)..; \(3^{n}\) là một cấp số nhân có \(n\) số hạng. 

Số hạng đầu là \(u_{1}=3\) và công bội q= 3.

Tổng của n số hạng đầu tiên là:

\[S_{n}=u_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}=3 \cdot \frac{1-3^{n}}{1-3}=\frac{3}{2} \cdot\left(3^{n}-1\right)\]

Chọn A.

5. Bứt phá điểm số cùng Examon

Như vậy, bài viết này Examon đã chia sẻ cho các bạn 3 phần: lý thuyết, ví dụ, bài tập củng cố về cách tính tổng n số hạng của cấp số nhân. Bạn có thể tham khảo và áp dụng vào bài làm của mình. Mong rằng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn. Cảm ơn bạn đã lựa chọn Examon là nơi để tham khảo và học hỏi kiến thức.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!