Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập
Dưới đây Examon đã tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập minh họa để giúp các bạn học sinh vượt qua mọi kì thi.
Mục lục bài viết
Cấp số nhân lùi vô hạn là nội dung đòi hỏi các bạn học sinh cần ghi nhớ để dễ dàng áp dụng vào làm bài tập. Đây cũng là dạng toán mà các bạn có thể gặp trong các kì thi đặc biệt là kì thi tốt nghiệp THPT. Do đó Examon đã tổng hợp đầy đủ tất tần tật mọi kiến thức liên quan đến cấp số nhân lùi vô hạn ở dưới đây. Hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập.

1. Định nghĩa cấp số lùi vô hạn
1.1 Định nghĩa

Như chúng ta đã biết, cấp số nhân có thể được hiểu là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà các số hạng trong đó, kẻ từ số hạng thứ hai trở đi, đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với \(q\) (q là một số không đối).
Cấp số nhân \(U_{n}\) được xác định bởi: \(u_{1}=a, u_{n+1}=u_{n} \cdot q\left(n \epsilon N^{*}\right)\), q được gọi là công bội.
Như vậy, có thể hiểu cấp số nhân có dạng: \(x, x q, x q^{2}, x q^{3}, x q^{4}, \ldots\) với x là số hạng đầu tiên và q là công bội.
Ví dụ: cấp số nhân có số hạng đầu là 3, công bằng 2 là: 3;6;12;18;36,...
Ta có khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn như sau:Cấp số nhân lùi vô hạn là một cấp số nhân mà có công bội q với \(|q|\) <1 .
1.2 Ví dụ
Các dãy số sau đều là cấp số nhân lùi vô hạn:
a, \(1 ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{2=3^{2}} ; \ldots ; \frac{1}{3^{n-1}} ; \ldots\)
b, \(2 ;-1 ; \frac{1}{2} ;-\frac{1}{2^{2}} ; \ldots ;(-1)^{n-1} \frac{1}{2^{n-2}} ; \ldots\)
c, \(\frac{1}{2} ; \frac{1}{4} ; \frac{1}{8} ; \frac{1}{16} ; \ldots\)
2. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
2.1 Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Tổng của tất cả các số hạng trong một cấp số nhân lùi vô hạn là giá trị hữu hạn và hoàn toàn có thể tính được.Giả sử ta có cấp số nhân lùi vô hạn \(U_{n}\).
Khi đó tổng của các số hạng thuộc \(U_{n}\) là:
\[\begin{array}{l}S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots+u_{n-1}+u_{n} \\\Rightarrow S_{n}=u_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q}\end{array}\]Giới hạn hai vế ta sẽ được:
\[S=\frac{u_{1}}{1-q}\]Tóm lại, tổng \(S\) của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q(\) với \(|q|\lt 1)\) được tính theo công thức:
\[S=\frac{u_{1}}{1-q}\]
2.2 Ví dụ
Ví dụ 1. Tính tổng
\[S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots\]Lời giải.
\(S\) chính là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạn đầu \(u_{1}=\frac{1}{2}\) và công bội \(q=\frac{1}{2}\). Áp dụng công thức trên ta được
\[S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\]Ví dụ 2. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777 ... dưới dạng phân số.
Lời giải.
Ta có
\[\begin{array}{c}0,777 \ldots=0,7+0,07+0,007+\ldots \\=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+\ldots=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9} .\end{array}\]Vậy \(0,777 \ldots=\frac{7}{9}\).
3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Rút gọn \(S=1+\cos ^{2} x+\cos ^{4} x+\cos ^{6} x+\cdots+\cos ^{2 n} x+\cdots\) với \(\cos x \neq \pm 1\).
A. \(S=\sin ^{2} x\).
B. \(S=\cos ^{2} x\).
C. \(S=\frac{1}{\sin ^{2} x}\).
D. \(S=\frac{1}{\cos ^{2} x}\).
Giải
Chọn C
Ta có
\[S=\underbrace{1+\cos ^{2} x+\cos ^{4} x+\cos ^{6} x+\cdots+\cos ^{2 n} x+\cdots}_{\operatorname{csN} \text { Wh: } \mu_{1}=1, q=\cos ^{2} x}=\frac{1}{1-\cos ^{2} x}=\frac{1}{\sin ^{2} x} .\]Bài 2: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là \(5 / 3\) tổng ba số hạng đầu tiên của nó là \(39 / 25\). Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
Giải
Ta có
\[\begin{array}{l}S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{5}{3} \\u_{1}+u_{2}+u_{3}=u_{1}\left(1+q+q^{2}\right)=\frac{39}{25} \\=\gt \frac{u_{1}}{1-q}\left(1+q^{3}\right)=\frac{39}{25}=>\frac{5}{3}\left(1+q^{3}\right)=\frac{39}{25} \\=>q=\frac{2}{5}=>u_{1}=1\end{array}\]Bài 3: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn \(\mathrm{a}=0,212121 \ldots\) (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số.
Giải
Ta có: \(\mathrm{a}=0,212121 \ldots\)
\[\begin{array}{l}=0,21+0,0021+0,000021+\ldots \\=21\left(\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{4}}+\frac{1}{10^{6}}+\ldots\right)\end{array}\]Tổng \(\mathrm{S}=\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{4}}+\frac{1}{10^{6}}+\ldots\) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có \(\mathrm{u}_{1}=\frac{1}{10^{2}}, \mathrm{q}=\frac{1}{10^{2}}\).
\[\mathrm{S}=\frac{\mathrm{u}_{1}}{1-\mathrm{q}}=\frac{\frac{1}{10^{2}}}{1-\frac{1}{10^{2}}}=\frac{1}{99} \text {. Do đó } \mathrm{A}=21 \cdot \frac{1}{99}=\frac{7}{33} \text {. }\]4. Mở rộng
Đối với một số bài toán về cấp số nhân lùi vô hạn ta có thể bấm máy tính
Ví dụ như bài 3 ở trên ta có thêm cách 2
Giải nhanh bằng máy tính
Nhập vào màn hình \(0,(21)\) và ấn phím ''='' ta được kết quả \(\frac{7}{33}\).

Với cách làm tương tự, hãy làm các bài luyện tập dưới đây:
1.Số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0,5111 \cdots\) được biểu diễn bởi phân số tối giản \(\frac{a}{b}\). Tính tổng \(T=a+b\).
A. 17 .
B. 68 .
C. 133 .
D. 137 .
2.Số thập phân vô hạn tuần hoàn \(A=0,353535 \ldots\) được biểu diễn bởi phân số tối giản \(\frac{a}{b}\). Tính \(T=a b\).
A. 3456 .
B. 3465 .
C. 3645 .
D. 3546 .
5. Cách học tập hiệu quả.

Trên đây là bài viết tổng hợp toàn bộ kiến thức liên quan đến cấp số nhân lùi vô hạn. Examon hy vọng bài viết này sẽ giúp cho nhiều bạn học sinh không còn gặp khó khăn khi giải bài mà còn tự tin đạt điểm cao trong các bài kiểm tra.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!