Công thức lượng giác và cách giải bài tập

Khuất Duyên

Đối với nhiều bạn học sinh việc học ghi nhớ và làm các bài tập về phần công thức lượng giác là rất khó khăn. Do đó, Examon đã tóm tắt ngắn gọn các ý chính

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Các công thức cơ bản cần nhớ
    • 1.1 Công thức cộng
    • 1.2 Công thức nhân đôi, hạ bậc
    • 1.3 Công thức biển đổi tổng thành tích
    • 1.4 Công thức biến đổi tích thành tổng
  • 2. Các dạng bài
    • 2.1 Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt
    • 2.2 Chứng minh đẳng thức lượng giác
    • 2.3 Thu gọn biểu thức lượng giác
    • 2.4 Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
  • 3. Bài tập tự luyện
  • 4. Khám phá kiến thức cùng Examon

Kiến thức về công thức lượng giác rất là rộng lớn và cũng là thử thách đối với các bạn học sinh. Đòi hỏi các bạn cần nắm vững được các công thức và các dạng, cũng như phương pháp giải thì mới có thể làm bài tập một cách trơn tru. 

Để giúp các bạn học sinh, Examon đã tổng hợp ngắn gọn tất cả công thức lượng giác chỉ trong bài viết dưới đây. Hy vọng các bạn học sinh sẽ nắm vững hơn các kiến thức để giải bài tập sau khi đọc xong.

banner

1. Các công thức cơ bản cần nhớ

1.1 Công thức cộng

\(\begin{array}{l}\sin (a+b)=\sin a \cdot \cos b+\sin b \cdot \cos a \\ \sin (a-b)=\sin a \cdot \cos b-\sin b \cdot \cos a \\ \cos (a+b)=\cos a \cdot \cos b-\sin a \cdot \sin b \\ \cos (a-b)=\cos a \cdot \cos b+\sin a \cdot \sin b \\ \tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a \cdot \tan b} \\ \tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a \cdot \tan b}\end{array}\)

1.2 Công thức nhân đôi, hạ bậc

* Công thức nhân đôi:

\[\begin{array}{l}\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \\\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \\=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha \\\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}\end{array}\]

* Công thức hạ bậc:

\[\begin{array}{l}\sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \\\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \\\tan ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}\end{array}\]

1.3 Công thức biển đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a-b}{2} \\ \cos a-\cos b=-2 \sin \frac{a+b}{2} \cdot \sin \frac{a-b}{2} \\ \sin a+\sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a-b}{2} \\ \sin a-\sin b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cdot \sin \frac{a-b}{2}\end{array}\)

1.4 Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}\cos a \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)] \\ \sin a \sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)] \\ \sin a \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\end{array}\)

2. Các dạng bài

2.1 Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt

a. Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc.

- Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.

- Sử dụng các công thức lượng giác.

b. Ví dụ minh họa

Ví dụ : Tính: \(\cos \frac{37 \pi}{12}\);

\(\begin{aligned} & \cos \frac{37 \pi}{12}=\cos \left(2 \pi+\pi+\frac{\pi}{12}\right) \\ = & \cos \left(\pi+\frac{\pi}{12}\right) \\ = & -\cos \left(\frac{\pi}{12}\right) \\ = & -\cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right) \\ = & -\left(\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin \frac{\pi}{4}\right) \\ = & -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} .\end{aligned}\)

2.2 Chứng minh đẳng thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ : Chứng minh rằng: \(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x=\frac{1}{4} \cos 4 x+\frac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l}V T=\sin ^{4} x+\cos ^{4} x \\ =\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x \\ =1-\frac{1}{2} \sin ^{2} 2 x=1-\frac{1}{2} \cdot \frac{1-\cos 4 x}{2} \\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \cos 4 x=V P\end{array}\)

2.3 Thu gọn biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

\[A=\cos 10 x+2 \cos ^{2} 4 x\]

Ta có:

\(\begin{array}{l}A=\cos 10 x+(1+\cos 8 x)-\cos x-2\left(4 \cos ^{3} 3 x-3 \cos 3 x\right) \cos x \\ =(\cos 10 x+\cos 8 x)+1-\cos x-2 \cos 9 x \cdot \cos x \\ =2 \cos 9 x \cdot \cos x+1-\cos x-2 \cos 9 x \cdot \cos x=1-\cos x\end{array}\)

2.4 Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

a. Phương pháp giải:

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là sau khi rút gọn biểu thức ta được kết quả không chứa biến. Do đó, để giải dạng toán này, ta sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn. Nếu biểu thức sau khi thu gọn không chứa biến, ta suy ra điều phải chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\) :

\[A=\cos ^{2} x+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}+x\right)+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\]

Ta có:

\(\begin{array}{l}A=\cos ^{2} x+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}+x\right)+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}-x\right) \\ =\cos ^{2} x+\left(\frac{1}{2} \cos x-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right)^{2}+\left(\frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right)^{2} \\ =\cos ^{2} x+\frac{1}{4} \cos ^{2} x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \sin x+\frac{3}{4} \sin ^{2} x \\ +\frac{1}{4} \cos ^{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \sin x+\frac{3}{4} \sin ^{2} x \\ =\frac{3}{2} \cos ^{2} x+\frac{3}{2} \sin ^{2} x \\ =\frac{3}{2}\left(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x\right) \\ =\frac{3}{2} .\end{array}\)

Examon.png
Luyện thi cấp tốc cùng Examon

3. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho \(x+y+z=\pi\), chứng minh rằng: tanx + tany + tanz = tanx . tany . tanz.

Câu 2: Cho \(\sin x+\sin y=2 \sin (x+y)\), với \(x+y \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}\). Chứng minh rằng: \(\tan \frac{x}{2} \cdot \tan \frac{y}{2}=\frac{1}{3}\).

Câu 3: Cho \(\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\) với \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\). Tính giá trị của \(\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)\).

Câu 4: Tính giá trị biểu thức

 \(M=\cos \left(-53^{\circ}\right) \cdot \sin \left(-337^{\circ}\right)+\sin 307^{\circ} \cdot \sin 113^{\circ}\).

Câu 5: Rút gọn biểu thức \(P=\frac{\cos a+2 \cos 3 a+\cos 5 a}{\sin a+2 \sin 3 a+\sin 5 a}\).

4. Khám phá kiến thức cùng Examon

Trên đây là bài viết tổng hợp lại kiến thức về công thức lượng giác. Examon hy vọng bài viết sẽ giúp ích được cho các bạn học sinh trong quá trình học tập và rèn luyện. Đừng quên theo dõi Examon để biết thêm nhiều kiến thức hay mỗi ngày.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ 

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1:  Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2:  Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện 

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

 

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGKTiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP7
Bài 1. Mệnh đề toán học3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp3
Bài tập cuối chương I1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn3
Bài tập cuối chương II1

 

Bước 3:  Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán 

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi. 

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

 

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh