Công bội của cấp số nhân

Phương pháp giải 

- Xác định số hạng thứ nhất \(\mathrm{u}_{1}\) và số hạng thứ hai \(\mathrm{u}_{2}\) của dãy số

- Áp dụng công thức: \(u_{2}=u_{1}\). \(q\) từ đó suy ra: \(q=\frac{u_{2}}{u_{1}}\)

Ví  dụ

Biết dãy số \(\left( u_{n} \right )\) với \(u_{n} = \left( - 3 \right )^{n}\) là một cấp số nhân. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho?

Giải

Ta có: \(\mathrm{u}_{1}=(-3)^{1}=-3 ; \mathrm{u}_{2}=(-3)^{2}=9\)

Áp dụng công thức: \(\mathrm{u}_{2}=\mathrm{u}_{1} \cdot \mathrm{q}\)

Suy ra: \(q=\frac{\tau_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{-3}=-3\)

Vậy, công bội của cấp số nhân là q = - 3

Phương pháp giải

 - Đề bài cho trực tiếp dãy số \(\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2} \mathrm{u}_{3}, \ldots\). là một cấp số nhân.

 - Đế tìm công bội q ta áp dụng công thức: \(q=\frac{u_{2}}{u_{1}}\)

Ví dụ

Biết dãy số - \(8,40,-200,1000\) là một cấp số nhân. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho? 

Giải

Theo đề bài: \(\mathrm{u}_{1}=-8 ; \mathrm{u}_{2}=40\)

Công bội của cấp số nhân đã cho là:

Vậy công bội của cấp số nhân q=-5

Phương pháp giải

Lý thuyết: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q \neq 0\) thì số hạng tổng quát \(u_{n}\) của nó được xác định bởi công thức: \(u_{n}=u_{1}\). \(q^{n-1}\)

Ví dụ

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có công bội \(q\gt 0\). Biết \(u_{5}=9\) và \(u_{7}=36\). Tìm công bội \(q\) của cấp số nhân.

Giải

Ta có

\(u_{5}=u_{1} \cdot q^{4} ; u_{7}=u_{1} \cdot q^{6}\)

Lập tỉ số:

\(\frac{u_{7}}{u_{5}}=\frac{u_{1} \cdot q^{6}}{u_{1} \cdot q^{4}}=q^{2}\)

Mà \(\frac{u_{7}}{u_{5}}=\frac{36}{9}=4\)

Suy ra: \(q^{2}=4\). 

Do đó, \(q=2\) (vì theo đề bài \(q\gt 0\) )

Vậy, công bội của cấp số nhân là q = 2

Biết \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân có \(u_{1}=5 ; u_{2}=-15\). Công bội của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) là:

A. 3

B. -3

C. 5

D. -5

Lời giải chi tiết

Vì \(u_{2}=u_{1}\). \(q\) nên \(q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{-15}{5}=-3\)

Vậy, công bội của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) là \(q=-3\)

Chọn B

Trung bình cộng của số hạng thứ 3 và thứ 4 của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) là 25 , số hạng thứ 3 của cấp số nhân là một số chính phương nhỏ nhất có hai chữ số. Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

A. Công bội q của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) là một số lớn hơn 3

B. Công bội q của cấp số nhân ( \(u_{n}\) ) là một số bé hơn 2

C. Công bội q của cấp số nhân ( \(u_{n}\) ) là một số lớn hơn 2

D. Công bội q của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) là một số bé hơn 1

Lời giải chi tiết 

Tổng số hạng thứ 3 và thứ 4 của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) là:

Vì số hạng thứ 3 của cấp số nhân là một số chính phương nhỏ nhất có hai chữ số nên u \(u_{3}=16\)+ Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là:

Theo định nghĩa cấp số nhân, ta có:

Chọn C

Cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có công bội \(q\lt 0\). Số hạng thứ 2 và số hạng thứ 4 lần lượt là: \(u_{2}=14 ; u_{4}=56\). Trong các phát biểu sau đây, phát biểu sai là:

A. Cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có công bội \(q=-2\)

B. Cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng thứ 3 là \(u_{3}=-20\)

C. Cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng đầu là một số lớn hơn - 8

D. Cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có tổng số hạng thứ 3 và thứ 4 bẳng 28

Lời giải chi tiết 

+Ta có: \(\mathrm{u}_{2}=\mathrm{u}_{1} \cdot \mathrm{q} ; \mathrm{u}_{4}=\mathrm{u}_{1} \cdot \mathrm{q}^{3}\)

Lập tỉ số:\(\frac{i_{4}}{u_{2}}=\frac{56}{14}=4\)

Mà \(\frac{u_{4}}{u_{2}}=\frac{u_{1} \cdot q^{3}}{u_{1} \cdot q}=q^{2}\)

Do đó: \(q^{2}=4\) suy ra \(q=-2(\) do \(q\lt 0)\)

Vậy, A đúng

+ Vì \(u_{2}=u_{1}\). q nên \(u_{1}=\frac{u_{2}}{q}=\frac{14}{-2}=-7\gt -8\)

Vậy, C đúng

+ Ta có: \(\mathrm{u}_{3}=\mathrm{u}_{1} \cdot \mathrm{q}^{2}=(-7) \cdot(-2)^{2}=-28\)

Vậy, B sai

+ Tổng của số hạng thứ 3 và thứ 4 của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) là:

Vậy, \(D\) đúng

Chọn B