CMĐT, bất đẳng thức tam giác sử dụng công thức lượng giác

Khuất Duyên

Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tam giác qua công thức lượng giác được Examon tổng hợp đầy đủ từ A đến Z. Hãy tham khảo ngay nào!

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Phương pháp giải
  • 2. Ví dụ minh họa
    • 2.1 Ví dụ 1
    • 2.2 Ví dụ 2
    • 2.3 Ví dụ 3
  • 3. Bài tập tự luyện
  • 4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Nếu bạn không biết hay chưa vững về cách làm CMĐT, bất đẳng thức tam giác sử dụng công thức lượng giác thì sau khi đọc song bài viết này bạn sẽ có thể giải bài một cách dễ dàng. Bài viết này bao gồm đầy đủ từ lý thuyết đến bài tập về phần chứng minh lượng giác để cho các bạn dễ dàng tiếp cận kiến thức và ghi nhớ nhanh hơn. 

 

banner

1. Phương pháp giải

Để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tam giác ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi,.....

Ngoài ra còn sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia hoặc chứng minh hai vế cùng bằng một biểu thức nào đó hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với một hệ thức luôn đúng đã biết.

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Chứng minh trong mọi tam giác \(A B C\) ta đều có:

a) \(\sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}\)

b) \(\sin ^{2} A+\sin ^{2} B+\sin ^{2} C=2(1+\cos A \cos B \cos C)\)

c) \(\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C=4 \sin A \sin B \sin C\)

Lời giải

a) \(V T=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}\)

Mặt khác trong tam giác \(A B C\) ta có \(A+B+C=\pi \Rightarrow \frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\)

Suy ra \(\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}, \sin \frac{C}{2}=\cos \frac{A+B}{2}\)

Vậy 

\(V T=2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{C}{2}=2 \cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right)\)

\[=4 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}=V P \Rightarrow \mathrm{PCCM} .\]\[\begin{array}{l}\text { b) } V T=\frac{1-\cos 2 A}{2}+\frac{1-\cos 2 B}{2}+1-\cos ^{2} C=2-\frac{\cos 2 A+\cos 2 B}{2}-\cos ^{2} C \\=2-\cos (A+B) \cos (A-B)-\cos ^{2} C\end{array}\]

Vì \(A+B+C=\pi \Rightarrow \cos (A+B)=-\cos C\) nên

\[\begin{aligned}V T & =2+\cos C \cos (A-B)+\cos C \cos (A+B)=2+\cos C[\cos (A-B)+\cos (A+B)] \\& =2+\cos C \cdot 2 \cos A \cos B=2(1+\cos A \cos B \cos C)=V P \Rightarrow \text { PPCM. }\end{aligned}\]

c) \(V T=2 \sin (A+B) \cos (A-B)+2 \sin C \cos C\)

Vì \(A+B+C=\pi \Rightarrow \cos C=-\cos (A+B), \sin (A+B)=\sin C\) nên

\[\begin{array}{l}V T=2 \sin C \cos (A-B)-2 \sin C \cos (A+B)=2 \sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B)] \\=2 \sin C \cdot[-2 \sin A \sin (-B)]=4 \sin A \sin B \sin C=V P \Rightarrow \text { ĐCM. }\end{array}\]

2.2 Ví dụ 2

Chứng minh trong mọi tam giác \(A B C\) không vuông ta đều có:

a) \(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C\)

b) \(\cot A \cdot \cot B+\cot B \cdot \cot C+\cot C \cdot \cot A=1\)

Lời giải

a) Đẳng thức tương đương với

 \(\tan A+\tan B=\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C-\tan C\)

\[\Leftrightarrow \tan A+\tan B=\tan C(\tan A \tan B-1)(*)\]

Do tam giác \(A B C\) không vuông nên \(A+B \neq \frac{\pi}{2}\)

\[\Rightarrow \tan A \tan B-1=\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}-1=\frac{\sin A \sin B-\cos A \cos B}{\cos A \cos B}=-\frac{\cos (A+B)}{\cos A \cos B} \neq 0\]

Suy ra

\[(*) \Leftrightarrow \frac{\tan A+\tan B}{\tan A \tan B-1}=\tan C \Leftrightarrow \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}=-\tan C \Leftrightarrow \tan (A+B)=-\tan C\]

Đẳng thức cuối đúng vì \(A+B+C=\pi \Rightarrow \mathrm{PCM}\).

b) Vì \(A+B+C=\pi \Rightarrow \cot (A+B)=-\cot C\)

Theo công thức cộng ta có:

\[\cot (A+B)=\frac{1}{\tan (A+B)}=\frac{1-\tan A \tan B}{\tan A+\tan B}=\frac{1-\frac{1}{\cot A \cot B}}{\frac{1}{\cot A}+\frac{1}{\cot B}}=\frac{\cot A \cot B-1}{\cot A+\cot B}\]

Suy ra

 \(\frac{\cot A \cot B-1}{\cot A+\cot B}=-\cot C \Rightarrow \cot A \cot B-1=-\cot C(\cot A+\cot B)\)

Hay \(\cot A \cot B+\cot B \cdot \cot C+\cot C \cdot \cot A=1\) ĐPCM.

Examon.png
Luyện đề cấp tốc cùng Examon

2.3 Ví dụ 3

Cho tam giác \(A B C\) thỏa mãn \(\cos \frac{A}{2} \cos (B-C)+\cos A \cos \frac{B-C}{2}=0\). Chứng minh rằng \(\cos 2 B+\cos 2 C \leq 1\).

Lời giải

Từ giả thiết ta có

\[\begin{array}{l}\cos \frac{A}{2}\left(2 \cos ^{2} \frac{B-C}{2}-1\right)+\cos \frac{B-C}{2}\left(2 \cos ^{2} \frac{A}{2}-1\right)=0 (1) \\\Leftrightarrow 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}\left(\cos \frac{B-C}{2}+\cos \frac{A}{2}\right)-\left(\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B-C}{2}\right)=0\end{array}\]\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left(\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B-C}{2}\right)\left(2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}-1\right)=0 \\\text { Vì } 0\lt \frac{A}{2}\lt \frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos \frac{A}{2}\gt 0,-\frac{\pi}{2}\lt \frac{B-C}{2}\lt \frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos \frac{B-C}{2}>0 \text { và } \\\frac{B+C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2} \Rightarrow \cos \frac{A}{2}=\sin \frac{B+C}{2} \text { nên }(1) \Leftrightarrow 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}-1=0 \\\Leftrightarrow 2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}=1 \Leftrightarrow \sin B+\sin C=1\end{array}\]

Áp dụng bất đẳng thức \(x^{2}+y^{2} \geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\) 

suy ra \(\sin ^{2} B+\sin ^{2} C \geq \frac{(\sin B+\sin C)^{2}}{2}=\frac{1}{2}\)

Do đó \(\cos 2 y+\cos 2 z=2-2\left(\sin ^{2} y+\sin ^{2} z\right) \leq 2-2 \cdot \frac{1}{2}=1\) ĐPCM.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1 : Chứng minh trong mọi tam giác \(A B C\) ta đều có:

a) \(\cos A+\cos B+\cos C \leq \frac{3}{2}\)

b) \(\sin A+\sin B+\sin C \leq \frac{3 \sqrt{3}}{3}\)

c) \(\tan A \tan B \tan C \geq 3 \sqrt{3}\) với \(A B C\) là tam giác nhọn.

Bài 2 : Chứng minh trong mọi tam giác \(A B C\) ta đều có:

a) \(\sin A+\sin B+\sin C \leq \cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}\)

b) \(\cos A \cos B \cos C \leq \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\)

c) \(\tan A+\tan B+\tan C \geq \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}\) Với tam giác \(A B C\) không vuông.

Bài 3: Chứng minh trong mọi tam giác \(A B C\) ta đều có:

a) \(\sqrt{\sin A}+\sqrt{\sin B}+\sqrt{\sin C} \leq 3 \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

b) \(\left(1+\frac{1}{\sin A}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{\sin B}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{\sin C}\right) \geq\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{3}\)

Bài 4 : Chứng minh rằng trong tam giác \(A B C\) ta luôn có

\[\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}+\sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}+\sin \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \leq \frac{3 \sqrt{3}}{4}\]

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Như vậy, bài viết này Examon đã chia sẻ cho các bạn 3 phần: phương pháp giải, ví dụ, bài tập củng cố về CMĐT, bất đẳng thức tam giác sử dụng công thức lượng giác. Bạn có thể tham khảo và áp dụng vào bài làm của mình. Mong rằng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn. Cảm ơn bạn đã lựa chọn Examon là nơi để tham khảo và học hỏi kiến thức.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!