Chứng minh một dãy số là cấp số nhân
Giải mã bí ẩn dãy số: Chinh phục cấp số nhân với Examon ngay bây giờ!
Mục lục bài viết
Giữa muôn vàn dãy số vô tận, ta lạc bước vào thế giới diệu kỳ của cấp số nhân, nơi những con số thầm thì những giai điệu du dương, vẽ nên bức tranh hài hòa của vũ trụ bao la.
Hãy cùng dạo bước trong khu vườn kiến thức này, nơi ta sẽ khám phá vẻ đẹp ẩn mình bên trong những con số tưởng chừng đơn điệu. Nào, hãy cùng đắm chìm vào bản giao hưởng của lý trí, nơi ta sẽ chứng minh một dãy số mang trong mình quy luật diệu kỳ của cấp số nhân.
Hãy tưởng tượng một dãy số như một bản giao hưởng du dương, nơi mỗi nốt nhạc cất lên đều hòa quyện nhịp nhàng, tạo nên một bản hòa ca say đắm lòng người. Cấp số nhân cũng vậy, từng số hạng như một nốt nhạc, nối liền nhau bởi một "công bội" diệu kỳ, tạo nên một bản hòa ca logic, chặt chẽ đến kinh ngạc.
Nhưng ẩn sau vẻ đẹp ấy là một bí mật, một quy luật khiến bao trái tim toán học say mê chinh phục. Đó chính là "công bội" - chìa khóa vàng mở cánh cửa vào thế giới cấp số nhân. Hãy cùng khám phá bí mật ấy, cùng vén màn bí ẩn che phủ vẻ đẹp kiêu sa của cấp số nhân!
Hãy sẵn sàng cho một hành trình đầy thú vị với Examon, nơi ta sẽ cùng dệt nên những "công bội" diệu kỳ, biến những dãy số tưởng chừng rời rạc thành bản hòa ca logic, chặt chẽ, và từ đó chinh phục đỉnh cao của toán học!
1. Phương pháp giải
Cách 1. Chứng minh \(\forall n \geq 1 ; u_{n+1}=u_{n} q\) trong đó q là một số không đổi.
Cách 2. Nếu \(u_{n} \neq 0\) với mọi \(n\) thì ta lập tỉ số \(T=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\)\(T\) là hằng số thì \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân có công bội \(q=T\). T phụ thuộc vào \(n\) thì ( \(u_{n}\) ) không là cấp số nhân.
Cách 3. Chỉ ra tồn tại số \(k \geq 2\) sao cho: \(\frac{u_{k+1}}{u_{k}} \neq \frac{u_{k}}{u_{k-1}}\)
2. Bài tập thực hành
2.1. Bài 1
Trong các dãy số \(\left(u_{n}\right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. \(u_{n}=3 n\).
B. \(u_{n}=2^{n}\).
C. \(u_{n}=\frac{1}{n}\).
D. \(u_{n}=2^{n}+1\).
Lời giải
Ta thấy, với \(\forall n \geq 2, n \in \mathbb{N}\) dãy số \(\left(u_{n}\right)=2^{n}\) có tính chất: \(\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{2^{n}}{2^{n-1}}=2\) nên là cấp số nhân với công bội \(q=2, u_{1}=2\).
2.2. Bài 2
Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng tổng quát là \(u_{n}=3 \cdot 2^{n+1}\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right)\). Chọn kết luận đúng:
A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}=12\).
B. Dãy số là cấp số cộng có công sai \(d=2\).
C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_{1}=6\).
D. Dãy số là cấp số nhân có công bội \(q=3\).
Lời giải
Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng tổng quát là \(u_{n}=3.2^{n+1}\left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) \Rightarrow u_{n+1}=3.2^{n+2}\).
Xét thương \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3.2^{n+2}}{3.2^{n+1}}=2=\) const với \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\)
Nên dãy số \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q=2\) và có số hạng đầu là \(u_{1}=3.2^{1+1}=12\).
3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
