Chứng minh một dãy số là cấp số nhân

Phạm Linh

Dưới đây là lý thuyết và bài tập minh họa mà Examon đã chuẩn bị cho bạn ở phần này, hãy xem qua để biết cách làm bài nhé.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Phương pháp làm bài
  • 2. Ví dụ minh họa
  • Ví dụ 1: Chứng minh
    • Ví dụ 1: Chứng minh
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 2: Xác định dãy số là cấp số nhân
    • Ví dụ 2: Xác định dãy số là cấp số nhân
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 3: Dãy số hữu hạn là cấp số nhân
    • Ví dụ 3: Dãy số hữu hạn là cấp số nhân
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 4: Chứng minh
    • Ví dụ 4: Chứng minh
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 5: Tìm a
    • Ví dụ 5: Tìm a
    • Đáp án và lời giải
  • 3. Lời kết
  • 4. Bí kíp học tốt môn toán

Dạng bài toán chứng minh một dãy số là cấp số nhân không hề khó.

Phần lý thuyết và bài tập chứng minh một dãy số là cấp số nhân mà Examon trình bày dưới đây hy vọng sẽ giúp cho các bạn học tốt chương trình Toán.

banner

1. Phương pháp làm bài

- Cách 1: Chứng minh \(\forall n \geq 1 ; u_{n+1}=u_{n} q\) trong đó q là một số không đổi.

- Cách 2: Nếu \(u_{n} \neq 0\) với mọi \(\mathrm{n}\) thì ta lập tỉ số \(T=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\)

T là hằng số thì \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân có công bội \(q=T\).

T phụ thuộc vào \(n\) thì ( \(u_{n}\) ) không là cấp số nhân.

- Cách 3: Chỉ ra tồn tại số \(k \geq 2\) sao cho: \(\frac{u_{k+1}}{u_{k}} \neq \frac{u_{k}}{u_{k-1}}\)

2. Ví dụ minh họa

  • Dưới đây là 5 ví dụ minh họa bài tập chứng minh một dãy số là cấp số nhân:

Ví dụ 1: Chứng minh

Ví dụ 1: Chứng minh

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số sau là một cấp số nhân.

\[-3,-1,-\frac{1}{3},-\frac{1}{9},-\frac{1}{27},-\frac{1}{81} \text {. }\]

 

Đáp án và lời giải

Lời giải.

Ta có: \(-1=-3 \cdot \frac{1}{3} ;-\frac{1}{3}=-1 \cdot \frac{1}{3} ;-\frac{1}{9}=-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} ;-\frac{1}{27}=-\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} ;-\frac{1}{81}=-\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{3}\) Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số \(-3,-1,-\frac{1}{3},-\frac{1}{9},-\frac{1}{27},-\frac{1}{81}\). là một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội \(q=\frac{1}{3}\).

Bộ đề ôn cấp tốc 30 ngày cùng Examon
Bộ đề ôn cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Ví dụ 2: Xác định dãy số là cấp số nhân

Ví dụ 2: Xác định dãy số là cấp số nhân

Ví dụ 2: Trong các dãy số sau dãy nào là cấp số nhân? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

a) \(1 ; 4 ; 16 ; 64 ; 256\).

b) \(2 ;-2 ; 3 ;-3 ; 4 ;-4\).

c) \(-1 ; \frac{1}{3} ;-\frac{1}{9} ; \frac{1}{27} ;-\frac{1}{81}\).

Đáp án và lời giải

Lời giải:

a) Dãy số đã cho có số sau bằng số hạng kề trước nhân với 4 nên là cấp số nhân có công bội bằng 4

b) Vì \(\frac{2}{- 2} \ne \frac{- 2}{3}\) nên dãy đã cho không là cấp số nhân

c) Mỗi số hạng đứng sau của dãy số bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với \(- \frac{1}{3}\) nên dãy đã cho là cấp số nhân với công bội \(- \frac{1}{3}\)

Ví dụ 3: Dãy số hữu hạn là cấp số nhân

Ví dụ 3: Dãy số hữu hạn là cấp số nhân

Ví dụ 4. Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số nhân: \(1 ;-\frac{1}{2} ; \frac{1}{4} ;-\frac{1}{8} ; \frac{1}{16}\).

Đáp án và lời giải

Lời giải:

Vì \(-\frac{1}{2}=1 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) ; \frac{1}{4}=-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) ;-\frac{1}{8}=\frac{1}{4} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) ; \frac{1}{16}=-\frac{1}{8} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\) nên dẫy số là cấp số nhân với công bội \(q=-\frac{1}{2}\)

Ví dụ 4: Chứng minh

Ví dụ 4: Chứng minh

Ví dụ 4: Chứng minh dãy số \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{n}=\frac{3}{5} \cdot 2^{n}\) là cấp số nhân.

Đáp án và lời giải

Lời giải:

Ta có \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{\frac{3}{5} \cdot 2^{n+1}}{\frac{3}{5} \cdot 2^{n}}=2 \Leftrightarrow u_{n+1}=2 \cdot u_{n}\) nên \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân có \(u_{1}=\frac{6}{5}\), công bội \(q=2\)

Ví dụ 5: Tìm a

Ví dụ 5: Tìm a

Ví dụ 5: Tìm \(a\) để ba số \(a-2 ; a-4 ; a+2\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Đáp án và lời giải

Lời giải:

Ba số \(a-2 ; a-4 ; a+2\) lập thành cấp số nhân điều kiện là : \((a-4)^{2}=(a-2)(a+2) \Leftrightarrow 8 a=20 \Leftrightarrow a=\frac{5}{2}\)

Vậy với \(a=\frac{5}{2}\) thỏa yêu cầu bài toán.

3. Lời kết

Examon hy vọng với những kiến thức về các cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân phía trên phần nào giúp bạn ẵm trọn điểm môn Toán.

Và đừng quên chủ động học hỏi và tìm kiếm tài liệu đọc thêm tại Examon để nâng cao kiến thức cho bản thân nhé.

 

4. Bí kíp học tốt môn toán

" Trên đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng" (Lỗ Tấn) chính vì vậy hãy học thật chăm chỉ để đạt được kết quả tốt. Nếu bạn không biết bắt đầu từ đâu thì để Examon giúp bạn.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!